Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 9 La derivada
De igual forma, para x > 0, f (x) = x, y
x x x
f( x) lím ( ) lím
x
lím
x0 x
x0
x
1 1
x0 f 0
x 0
En x = 0, f (x) = 0 y lím ( ) f ( ) lím
| x|
.
x
0 x
x
0 x
Cuando x 0 – , | x
| x
11. Pero cuando x 0 x x
+ , | x
| x
11. Por tanto, la
x x
derivada no existe en x = 0.
Puesto que la función es continua en 0, se demuestra que la continuidad no implica diferenciabilidad.
y
dy
12. Calcule para la función de a) problema 3 y b) problema 5. Compruebe que 0 cuando x 0.
x
dx
a) = [3x 2 – 2x + (3x – 1)x + (x) 2 ] – (3x 2 – 2x) = (3x – 1 + x)x
b)
1
1
( x 2) ( x x
2)
1
( x 2)( x x2) ( x 2) 2
2 2
x
( x2) ( xx2) ( x2) ( x x2)
Ambos tienden a cero cuando x 0.
dy
13. Interprete geométricamente Δy
= Δx + ∈ Δx
dx
del problema 12.
En la figura 9.1, y = RQ y dy
dx x = PR tan TPR = RS; así, x = SQ. Para el cambio x en x a partir
de P(x, y), y es el cambio correspondiente en y a lo largo de la curva, mientras que dy
dx x es el cambio
correspondiente en y a lo largo de la tangente PT. Como su diferencia x es un múltiplo de (x) 2 , tiende a
cero más rápido que x, y dy
dx
x puede utilizarse como una aproximación de y cuando x es pequeño.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
14. Halle y y y/x, dado
a) y = 2x – 3 y x cambia de 3.3 a 3.5
b) y = x 2 + 4x y x cambia de 0.7 a 0.85
c) y = 2/x y x cambia de 0.75 a 0.5
Respuestas: a) 0.4 y 2; b) 0.8325 y 5.55; c) 4 3 y – 16 3
15. Halle y, dado y = x 2 – 3x + 5, x = 5 y x = –0.01. Entonces, ¿cuál es el valor de y cuando x = 4.99?
Respuesta: y = –0.0699; y = 14.9301.
16. Indique la velocidad promedio (repase el problema 2), dado a) s = (3t 2 + 5) pies y t cambia de 2 a 3 segundos.
b) s = (2t 2 + 5t – 3) pies y t cambia de 2 a 5 segundos.
Respuestas: a) 15 pies/segundo; b) 19 pies/segundo
17. Encuentre el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: a) de r a r + r
pulgadas; b) de 2 a 3 pulgadas. (Vale la pena recordar que el volumen de una esfera se obtiene con la fórmula
3
V π r .)
= 4 3
4
Respuestas: a) [ 3 3 ( ) ]
3
2 2 3
r rr r r
pulg ; b) 76 3 pulg3