Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 44 Series con términos positivos
1
Se sabe que la serie armónica diverge. Entonces, por el criterio de comparación por paso al límite
2
n
n + 1
∑ 3 diverge.
n + 1
8.
1 1 1
2ln2
+ 3ln3
+ 4ln4
+⋅⋅⋅.
s = 1 está definida para n 2.
n nlnn
u
dx
lím
dx
lím ln(ln u)
2 xln
x u
2 xln
x u
lím (ln (ln u) ln (ln 2))
u
u
2
Por tanto, la serie diverge por el criterio de la integral.
1
9. ¿Cuántos términos de n 2 bastan para obtener una exactitud de dos cifras decimales (es decir, un error <
5/10 3 )?
Si se utilizan k términos, se requiere que el error
+∞
n=
1
k
+∞
1 1 1 1
2
−
2
=
2
≤
2
n n n x dx = lím
k
u
n=
1
+∞
n=
k+
1
→+∞
1 1
1 1
2
x dx lím lím
u→+∞
x u→+∞
u k
u
∑ ∑ ∑ ∫ ∫ = − ⎤ ⎦ ⎥ = − −
=
1
<
5
=
1
3
k 10 200
k
u
k
( )
Por tanto, 200 < k. Entonces, es suficiente utilizar 201 términos de la serie. (Puede emplear una graficadora
201
para hallar
1
2
164 . .)
n
n1
10. Supóngase que s n
converge en virtud del criterio de la integral aplicada a f(x) y, para cada n, el error (o
residuo), R k después de k términos se define como
n1
s
n
k
n1
+∞
sn. Entonces Rk
= ∑ sn
< +∞
f( x) dx.
+∞
n= k+
1
Halle una cota en el error cuando
1
∑ n 2 es aproximada por los primeros cinco términos
n=1
1+ 1 +
1
+
1
+
1
=
5269
≈ 1. 4636.
4 9 16 25 3600
+∞
El error R
x dx 1
<
1
∫ = 5 2 5 =02 ..
5
∫
k
11. Supóngase que s n y c n son series positivas, c n converge y s n c n para todo n. Entonces el error R k
después de k términos es
n1
s s s c .
n
k
n
n
n
n1 nk1
nk1
1
¿Por lo menos cuántos términos se necesitan para calcular ∑ n 5
+ 1
con un error < 0.00001?
n = 1
En este caso s = 1
n 5
y c
n + 1
= 1 +∞
+∞
n 5
. Es suficiente tener
1
1 1 1
5
0 00001
n
∑ n < . . Ahora, ∑ 5
<
5
n ∫
+∞
x dx = .
k 4k 4
n= k+
1 n= k+
1
Entonces, se necesita 1
0 00001
1
4
4k < . = 100 000
. De forma equivalente, 100 000 < 4k4 , 25 000 < k 4 , k 13.
+∞