Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 46 Serie de potencias
sn
1
Por la regla de L’Hôpital, lím | x|
. Por tanto, el intervalo de convergencia está dado por |x| < 1. (Para
n
sn
+∞
x = 1, se tiene que 1
∑ ln ( n + 1 ) , que como se sabe, es divergente. Para x = –1, se obtiene la serie alternada
n = 1
+∞
(–1)
convergente ∑
n ln ( n + 1 )
n = 1
20. Aproxime 1 con un error menor que 0.0001.
e
Por la fórmula (46.14),
e
x
+∞
n
=
x
∑ n !
n=
0
para todo x. Por tanto,
+∞
1 −1
−1
= e =
e ∑ ( ) n!
Por el teorema de la serie alternada, se busca el n mínimo tal que 1/n! 0.0001 = 1/10 000, es decir, 10 000
n!. Por ensayo y error se muestra que n 8. Entonces, se deben utilizar los términos correspondientes a n = 0,
1,… , 7:
n=
0
1− 1+ 1 −
1
+
1
−
1
+
1
−
1
=
103
~ 0.
3679
2 6 24 120 720 5040 280
(Una graficadora da la respuesta 0.3678794412, corregida con diez cifras decimales.)
n
1
21. Aproxime
x2
e dx con dos cifras decimales de precisión, es decir, con un error < 5/10 3 = 0.005.
0
Por la fórmula (46.14),
e
x
+∞
n
=
x
∑ n !
n=
0
para todo x. Por tanto,
+∞
− x ( − )
e = ∑ n!
n
2 1 2n
n= 0
x
para todo x.
Por el teorema (46.6b),
1
1
n n
n
x2 1
2 1
( )
e dx
x
n n
n
( 1)
1
0
! 2 1 n!
2n
1
0
0 n 0
1
Se puede aplicar el teorema de las series alternadas. La magnitud del primer término omitido
( 2n+
1) n!
debería ser 0.005 = 1/200. Entonces, 200 (2n + 1)n! Por ensayo y error se muestra que n 4. Por tanto, se
deberían utilizar los primeros cuatro términos, es decir, los correspondientes a n = 0, 1, 2, 3:
1− 1 +
1
−
1
=
26
~ 0.
743
3 10 42 35
(Una graficadora da la aproximación 0.74682413, corregida con ocho cifras decimales.)
22. Encuentre una expansión de serie de potencias para 1 en torno a 0.
x + 3
1 1 1
x+ 3
= . Por la fórmula (46.7), 1
2 3
3 ( x/ 3)
+ 1
1 1
1 + x
= ∑ − n n
( ) x = − x + x − x +⋅⋅⋅ para |x| < 1.
Por tanto,
+∞
n=
0
1
( x/ 3)
1
+∞
n +∞
n
n
( 1) x
n
( 1)
x
∑ 3 ∑
n 0
n 0 3
n
para x 3
=
=
+ = − ( ) = −
< 1
Luego,
La serie diverge en x = 3.
+∞
n
1
n
1
x
3
3 3
n 1
x
x + = ∑( − ) <
+
para | |
n=
0