Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

479
p /2
A 2 0
21 cosq
r dr dq 2
2
4sen q 1 2 q 1
sen 2q
4
p /2
0
y
p /2
0
1 2 r
2
21 cosq
2
dq 4
p /2
p 8 unidades cuadradas
O
Fig. 55.3
0
x
2cosq cos 2 q dq
CAPÍTULO 55 Centroides y momentos de inercia
4. Determine el área interior al círculo r = 4 sen q y exterior a la lemniscata r 2 = 8 cos 2q.
El área requerida es igual al doble de la limitada en el primer cuadrante por las dos curvas y la recta q = 1 2 p .
Observe en la figura 55.4 que el arco AO de la lemniscata se genera al variar q de q = p 6 a q = p , mientras que
4
el arco AB del círculo se describe al variar q de q = p 6 a q = p 2 . Esta área debe entonces considerarse dos
regiones, una por debajo de la recta q = p 4 y otra por encima de la misma recta. Así,
A = 2
∫
∫
p /4
p / 6
p / 4
4senq
∫ r dr dq + 2
2 2cos2q
∫
p /2
p / 4
= ( 16 sen 2 q − 8cos2q )dq +
p / 6
∫
∫
4 senq
0
p /2
p / 4
= ( 8 3 p + 4 3− 4 ) unidades cuadradas
y
r dr dq
16 sen 2 q dq
B
1 4
A
1 6
O
Fig. 55.4
5. Calcule N e x2 dx (fig. 55.5).
0
Como e x2 dx e y2
0 dy se obtiene
0
N 2
e x2 dx e y2
0 dy e x2 y 2
0 0 dx dy e x2 y 2
dA
0
Al cambiar a coordenadas polares (x 2 + y 2 ) = r 2 , dA = r dr dr resulta
y N = p 2 .
N 2 p /2
e r 2 p /2
r dr dq lím
1 2
0 0 0 a
2 er dq 1 2
a
0
R
p /2
0
dq p 4