Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Ecuaciones diferenciales de primer
y segundo orden
Una ecuación diferencial es una ecuación que supone una función, por ejemplo, y, de una variable, digamos x,
y derivadas de y o diferenciales de x y y. Algunos ejemplos son dy 2
dy
dx2 + 2
dx
+ 3y− 7sen x+ 4x=
0 y dy = (x + 2y)
dx. La primera ecuación también puede escribirse como y'' + 2y' + 3y – 7 sen x + 4x = 0.
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación.
La primera de las ecuaciones anteriores es de orden dos, y la segunda es de orden uno.
Una solución a una ecuación diferencial es una función y que satisface la ecuación. Una solución general
de una ecuación es una fórmula que describe todas las soluciones de la ecuación. Una solución general de una
ecuación diferencial de orden n contendrá n constantes arbitrarias.
Ecuaciones diferenciales separables
Una ecuación diferencial separable es una ecuación de primer orden que puede representarse en la forma
dy f x
f(x)dx + g(y)dy = 0, lo que equivale a =− ( )
dx gy ()
Una ecuación separable puede resolverse extrayendo las antiderivadas
∫
∫
f ( x) dx + g( y)
dy = C
El resultado es una ecuación que implica a x y a y que determina a y como una función de x (véase los problemas
4 a 6, y una justificación en el problema 61).
Funciones homogéneas
Una función f(x, y) es homogénea de grado n si f(lx, ly) = l n f(x, y). La ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es
homogénea si M(x, y) y N(x, y) son homogéneas del mismo grado. Es fácil comprobar que la sustitución
y = vx,
dy = v dx + x dv
transformará una ecuación homogénea en una ecuación separable en las variables x y v.
Factores de integración
Ciertas ecuaciones diferenciales pueden resolverse después de multiplicar por una función apropiada de x y y
que producen una combinación integrable de términos. Tal función se denomina factor de integración respecto
a las ecuaciones. Al buscar combinaciones integrables se observa que:
xdy – ydx
(i) d(xy) = x dy + y dx (ii) d(y/x) =
x 2
xdy + ydx
(iii) d(ln xy) =
(iv) d
1
u k+1
xy
k + 1 = uk du
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