Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 14 Valores máximos y mínimos
(–3, 43/2)
y
O
Fig. 14.5
(2, 2/3)
x
3. Sea f (x) = x 4 + 2x 3 – 3x 2 – 4x + 4. Halle a) los números críticos de f; b) los puntos en los que f tiene un extremo
relativo; c) los intervalos en los que f es creciente o decreciente.
a) Sea f (x) = 4x 3 + 6x 2 – 6x – 4. Es claro que x = 1 es un cero de f (x). Al dividir f (x) entre x – 1 se obtiene
4x 2 + 10x + 4, que se factoriza 2(2x 2 + 5x + 2) = 2(2x + 1)(x + 2). Así, f (x) = 2(x – 1)(2x + 1)(x + 2), y los
números críticos son 1, – 1, y –2. 2
b) f (x) = 12x 2 + 12x – 6 = 6(2x 2 + 2x – 1). Mediante el criterio de la segunda derivada, se halla i) en x = 1,
f (1) = 18 > 0, y existe un mínimo relativo; ii) en x = – 1, 2 f ( 1
2 ) 9 0, de manera que hay un
máximo relativo; iii) en x = –2, f (–2) = 18 > 0, que señala un mínimo relativo.
1
1
c) f (x) > 0 cuando x > 1, f (x) < 0 cuando − 2 < x < 1, f (x) > 0 cuando − 2 < x 1, o bien, − 2 < x 2.
Existe una discontinuidad no removible en x = 2. La gráfica se muestra en la figura 14.7.
y
O 2
x
Fig. 14.7