Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

5
e) |x + 2| < 3 equivale a –3 < x + 2 < 3. Al restar 2 se obtiene –5 < x < 1, lo que define el intervalo abierto
(–5, 1):
–5 1
f) La desigualdad |x – 4| < determina el intervalo 4 – < x < 4 + . La condición adicional 0 < |x – 4|
dice que x 4. Por tanto, se obtiene la unión de los dos intervalos (4 – , 4) y (4, 4 + ). El resultado se
denomina vecindad de 4:
4
4
4
3. Describa y trace un diagrama de los intervalos determinados por las desigualdades siguientes: a) |5 – x| 3; b)
1
|2x – 3| < 5; c) 1− 4x < .
2
a) Como |5 – x| = |x – 5|, se tiene que |x – 5| 3, equivalente a –3 x –5 3. Sumando 5 se obtiene 2 x
8, que define el intervalo [2, 8]:
CAPÍTULO 1 Sistemas de coordenadas lineales
2 8
b) |2x – 3| < 5 equivale a –5 < 2x – 3 < 5. Sumando 3 se obtiene –2 < 2x < 8; entonces, al dividir entre 2
resulta –1 < x < 4, lo que define el intervalo abierto (–1, 4):
–1 4
1
1
c) Como |1 – 4x| = |4x – 1|, se tiene que 4x 1
2
, que equivale a − < 4x
− 1<
1
2
x . Dividiendo entre 4 se obtiene 1 3
< x <
8 8
, que define el intervalo 1 3
( ,
8 8):
< 4 <
3
2
2
1
2
. Al sumar 1 se obtiene
1/8 3/8
4. Resuelva las desigualdades siguientes y trace la gráfica de las soluciones: a) 18x – 3x 2 > 0; b) (x + 3)(x – 2)
(x – 4) < 0; c) (x + 1) 2 (x – 3) > 0.
a) Sea 18x – 3x 2 = 3x(6 – x) = 0; se obtiene x = 0 y x = 6. Hay que determinar el signo de 18x – 3x 2 en cada
uno de los intervalos x < 0, 0 < x < 6 y x > 6 para establecer dónde 18x – 3x 2 > 0. Observe que es negativo
cuando x < 0 (ya que x es negativo y 6 – x es positivo). Se vuelve positivo cuando se pasa de izquierda
a derecha por 0 (puesto que x cambia de signo, pero 6 – x sigue siendo positivo) y se vuelve negativo
cuando pasa por 6 (ya que x sigue siendo positivo, pero 6 – x cambia a negativo). Por ende, es positivo
cuando y sólo cuando 0 > x < 6.
0 6
b) Los puntos críticos son x = –3, x = 2 y x = 4. Advierta que (x + 3)(x – 2)(x – 4) es negativo para x < –3
(pues cada uno de los factores es negativo) y que cambia de signo cuando pasa por cada uno de los puntos
cruciales. Por tanto, es negativo para x < –3 y para 2 < x < 4:
–3 2 4
c) Observe que (x + 1) 2 siempre es positivo (salvo en x = –1, donde es 0). Por tanto, (x + 1) 2 (x – 3) > 0
cuando y sólo cuando x – 3 > 0, es decir, para x > 3:
3