Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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1 2
7. Sean las ecuaciones del movimiento de un proyectil x = v 0 t cos , y = v 0
t senψ −
2
gt , donde v 0 es la velocidad
inicial, es el ángulo de proyección, g = 32 pies/s 2 , y x y y están medidos en pies y t en segundos. Determine
a) la ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares; b) el rango; c) el ángulo de proyección para el
rango máximo, y d) la rapidez y la dirección del proyectil después de 5 segundos de vuelo si v 0 = 500 pies/s y
= 45º (fig. 40.5).
O
y
0
Fig. 40.5
x
CAPÍTULO 40 Movimiento curvilíneo
a) Se despeja en la primera ecuación t
y v x
0
sen
v0
cos
=
x
y se sustituye en la segunda:
v0 cosψ
g
v
1
2
0
2
2
x
gx
x
tan
cos
2
2 2
v 0
cos
1 2
b) Se despeja t en y = v 0
t senψ − 2 gt = 0 y se tiene t = 0 y t = (2v 0 sen )/g. Para la última, se obtiene
2
2v0sen
v0sen 2
Rango x v0
cos
g g
c) Para que x sea un máximo, dx
2
2v0
cos2
0
; por tanto, cos 2 = 0 y
d
g
1 4 .
d) Para v 0 = 500 y 1 4 , x = 250 2 t y y = 250 2t −16t
2 . Entonces,
vx = 250 2 y vy = 250 2 −32t
Cuando t = 5, v x
= 250 2 y v y
= 250 2 −160 . Luego,
vy
2 2
tan 0.
5475 . Entonces, = 28º 42' y | v| v v
v
x y
403 pies/s
x
8. Un punto P se mueve en un círculo x = r cos , y = r sen , con rapidez constante v. Demuestre que si el radio
4
vector de P se mueve con velocidad angular y aceleración angular , a) v = r, y b) a= r ω + α 2
.
d
a) v x
rsen
d
rsen
y v
dt
y
= r cosβ β =rωcosβ
dt
b)
2 2 2 2 2 2 2
Entonces, v = vx + vy = ( r sen β+ r cos β)
ω = rω
dvx
d
a r r
d
x
2
cos sen r cos
r
sen
dt
dt dt
dvy
d
a r
sen
r cos
d
2
y
r
sen r cos
dt
dt dt
2 2 2 4 2 4 2
Luego, a a a r ( a ) r
x
y