Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Diferenciabilidad
Se dice que una función z = f (x, y) es diferenciable en (a, b) si existen las funciones 1 y 2 tales que
y
lím
lím
1
( x,
y) ( 00 , ) ( x, y) ( 00 , )
2 0
Nótese que la fórmula (49.4) puede escribirse como
z f ( a, b) x
f ( a, b) y1x
2
y
(49.4)
x
y
z dz
x
y
(49.5)
1 2
Se dice que z = f (x, y) es diferenciable en un conjunto A si es diferenciable en cada punto de A.
Como en el caso de una variable, la diferenciabilidad implica continuidad (véase el problema 23).
EJEMPLO 49.2. Observe que z = f (x, y) = x + 2y 2 es diferenciable en todos los puntos (a, b). Note también que
f x (x, y) = 1 y f y (x, y) = 4y. Entonces,
Sea 1 = 0 y 2 = 2 y.
2 2
Δz= f( a+ Δx,
b+ Δy) − f( a, b) = a + Δx+ 2( b+
Δy)
−a −2b
2
= Δx+ 4bΔy+
2( Δy)
= f ( a,
b) Δx + f ( a , b)
Δy
+ ( 2 Δy)
Δy
x
Definición. Por conjunto abierto en un plano se entiende un conjunto A de puntos en el plano tales que cada punto
de A pertenece a un disco abierto que está incluido en A.
Un ejemplo de conjunto abierto es un disco abierto y el interior de un rectángulo.
y
CAPÍTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
Teorema 49.1. Supóngase que f (x, y) es tal que f x y f y son continuas en un conjunto abierto A. Entonces, f es
diferenciable en A.
En el problema 43 se presenta la demostración.
2 2
EJEMPLO 49.3. Sea z = f( x, y) = 9 − x − y . Entonces, f = −x
y
y
x
f
2 2
9 − x −y
= −
. Por el teorema
y 2 2
9 − x −y
(49.1), f es diferenciable en el disco abierto de radio 3 y centro en el origen (0, 0) (donde los denominadores de f x y
f y existen y son continuos). En ese disco, x 2 + y 2 < 9 tómese el punto (a, b) = (1, 2) y evalúe el cambio z cuando se
mueve de (1, 2) a (1.03, 2.01). Por tanto, x = 0.03 y y = 0.01. Aproxime z por
dz = fx(, 12) Δx + fy(, 12) Δy
= − 1
( . ) + − ( . ) =
2 003 2
001 −0.
025
2
2 2
La diferencia real z es 9 −(. 1 03) −(. 2 01) − 9 −1 −4 ~ 1. 9746 − 2 =−0. 0254..
Reglas de la cadena
La regla de la cadena (2 1)
Sea z = f (x, y), donde f es diferenciable, y sea x = g(t) y y = h(t), donde g y h son funciones diferenciables de
una variable. Entonces, z = f (g(t), h(t)) es una función diferenciable de una variable y
dz
dt
z
= ∂ ∂x
dx
dt
z
+ ∂ ∂y
dy
dt
(49.6)