Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

452
CAPÍTULO 52 Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos
10. Analice los valores máximos y mínimos de f(x, y) = x 2 + y 2 – 4x + 6y + 25.
Las condiciones f
x 2x 40 y f
2y 60 se satisfacen cuando x = 2 y y = –3. Como
y f(x, y) = (x 2 – 4x + 4) + (y 2 + 6y + 9) + 25 – 4 – 9 = (x – 2) 2 + (y + 3) 3 + 12
es evidente que f(2, –3) = 12 es el valor mínimo absoluto de la función. Geométricamente, (2, –3, 12) es el
punto mínimo de la superficie z = x 2 + y 2 – 4x + 6y + 25. Claramente, f(x, y) no tiene valor máximo absoluto.
11. Analice los valores máximos y mínimos de f(x, y) = x 3 + y 3 + 3xy.
Se utilizará el teorema 52.2. Las condiciones f
x 3(x2 y)0 y f
y 3(y2 x)0 se satisfacen cuando
x = 0 y y = 0 y cuando x = –1 y y = –1.
En (0, 0), 2
f
2
x
6x0, 2
f
x
y 3 y 2
f
2
6y0. Entonces,
y
2
2
2 2
f f f
2
2
90
x y x y
y (0, 0) no resulta en un mínimo ni un máximo relativo.
En (–1, –1), 2
f
2
6, 2
f
x
xy 3 y 2
f
2
6. Entonces,
y
2
2
2 2
f f f
2
2
27
0
x y x y
y
2
2
f f
2
x
y
Por tanto, f (–1, –1) = 1 es el valor máximo relativo de la función.
Claramente, no hay valores máximos ni mínimos absolutos. (Cuando y = 0, f(x, y) = x 3 pueden hacerse
arbitrariamente grande o pequeño.)
2
0
12. Divida 120 en tres partes no negativas tales que la suma de los productos tomados de dos en dos sea máxima.
Sean x, y, y 120 – (x + y) las tres partes. La función por ser analizada es S = xy + (x + y)(120 – x – y). Como
0 x + y 120, el dominio de la función consta del triángulo sólido mostrado en la figura 52.2. El teorema
52.3 garantiza un máximo absoluto.
y
120
x y 120
O
120
x
Figura 52.2
Ahora,
y
S
y (120 x y) (x y)120 2x y
x S
x (120 x y) (x y)120 x2y
y