Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 56 Integración doble aplicada al volumen
Fig. 56.1
2. Determine el volumen acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 4 y los planos y + z = 4 y z = 0.
De la figura 56.2 se desprende que z = 4 – y va a integrarse sobre el círculo x 2 + y 2 = 4 en el plano xy. Por tanto,
2
4y2 2 4y2
V
( 4 y) dx dy 2 ( 4 y)
dx dy 16
2 unidades cúbicas
2
4y
2
0
3. Determine el volumen acotado por arriba por el paraboloide x 2 + 4y 2 = z, por debajo por el plano z = 0, y
lateralmente por los cilindros y 2 = x y x 2 = y (fig. 56.3).
El volumen requerido se obtiene al integrar z = x 2 + 4y 2 sobre la región R común a las parábolas y 2 = x y
x 2 = y en el plano xy. Por ende,
V
1 x
x y dydx 1
2 2
x 2 y y 3
( )
dx 3
4
4
x2
7 uunidades cúbicas
0
0 3 2
x
x
Fig. 56.2 Fig. 56.3
4. Determine el volumen de una de las cuñas que se cortan en el cilindro 4x 2 + y 2 = a 2 por los planos z = 0 y
z = my (fig. 56.4).
El volumen se obtiene integrando z = my sobre la mitad de la elipse 4x 2 + y 2 = a 2 . Por consiguiente,
a/ 2 a2−4x2
a/
2
2∫0
∫0
∫0
2 a2−4x2
V= mydydx= m [ y ] dx=
0
ma 3
3
uunidades cúbicas