Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

403
x
z
O
C
B
P(x, y, z)
A
Fig. 48.1
D
y
CAPÍTULO 48 Derivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Se pueden extraer las derivadas parciales respecto a x y y de z
para llegar a
x 2
z
2
f
x
( x , y ) z
xx
x
x
2
z
y
z
fyx x y
y x
y
( , ) x
De igual forma, de z
se obtiene
y 2
z
2 f
y
x y y
z
y
yy ( , ) y
2
z
z
fxy x y
x y
x
( , ) y
Teorema 48.1. Supóngase que f xy y f yx existen y son continuas en un disco abierto. Entonces, f xy = f yx en cada punto
del disco.
En el problema 30 se presenta una demostración.
EJEMPLO 48.6.
Compruebe el teorema 48.1 para f(x, y) = x 2 (sen yx).
f x (x, y) = x 2 (cos yx)(y) + 2x(sen yx) = x[xy(cos yx) + 2sen yx]
f y (x, y) = x 2 (cos yx)x + x 3 (cos yx)
f yx (x, y) = x[x(y(–sen yx)(x) + cos yx) + 2(cos yx)(x)]
= x 2 [–xy sen yx + 3 cos yx]
f xy (x, y) = x 2 (–sen yx)(y) + 3x 2 cos yx = x 2 [–xy sen yx + 3 cos yx]
Las derivadas parciales también pueden definirse para funciones de tres o más variables. Se cumple un
análogo del teorema 48.1 para dos ordenamientos cualesquiera de los subíndices dados.
Nótese que las derivadas parciales pueden no existir cuando los límites requeridos no existen.
PROBLEMAS RESUELTOS
4 2 2
x
y
1. Evalúe a) lím ( 2xy
7 x y ) ; b) lím x cos
( xy , ) ( 32 , )
( xy , ) ( , 0)
4 .
Como se aplican las leyes de límite estándar, los límites son:
a) 2(3)(2) 4 – 7(3) 2 (2) 2 = 96 – 252 = –156; b) cos
2
4 2
2
2. Evalúe) lím
x
2 2 .
( xy , ) ( 00 , ) x y
2
Cuando (x, y) (0, 0) a lo largo del eje y, x = 0 y
x
2 2
0 0.
x y