Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

38
Curvatura
Derivada de la longitud de un arco
Sea y = f(x) que tiene una primera derivada continua. Sea A(x 0 , y 0 ) un punto fijo en su gráfica (fig. 38.1) y sea s
la longitud de arco medida desde A hasta cualquier otro punto P(x, y) en la curva. Se sabe que, por la fórmula
(29.2),
dy
s = x
+ ⎛ ⎞
∫ 1 dx
x ⎝
0 dx ⎠
si se selecciona s para que crezca con x. Sea Q(x + x, y + y) un punto en la curva cercano a P. Sea s la
longitud de arco de P a Q. Entonces,
y de forma semejante,
ds
dx
ds
dy
Δs
dy
= lím = ± 1+ ⎛ ⎞
Δx→0
Δx
⎝ dx ⎠
Δs
dx
= lím = ± 1+ ⎛ ⎞
Δy→0
Δy
⎝ dy⎠
El signo más o menos se obtiene en la primera fórmula según s aumente o disminuya al crecer x, y en la segunda
fórmula según s aumente o disminuya al crecer y.
y
2
2
2
Q(x x, y y)
s
P(x, y)
x
s
A
O
x
Fig. 38.1
Cuando una curva está definida por ecuaciones paramétricas x = f(u) y y = g(u),
ds
du
2 2
Δs
dx dy
= lím = ± ⎛ ⎞
u u ⎝ du ⎠ + ⎛ ⎞
Δ →0
Δ
⎝ du ⎠
Aquí, el signo más o menos se obtiene según s aumente o disminuya al crecer u.
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