Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 3 Rectas
y
D
M 3
C
M 4
M 2
A M 1
B
x
Fig. 3.12
5. Pruebe el teorema 3.2.
Suponga primero que 1 y 2 son rectas perpendiculares no verticales con pendientes m 1 y m 2 . Debe
demostrar que m 1 m 2 = –1. Sean M 1 y M 2 las rectas que pasan por el origen O y que son paralelas a 1 y 2
como se observa en la figura 3.13(a). La pendiente de M 1 es m y la pendiente de M 2 es m 2 (por el teorema 3.1).
Además, M 1 y M 2 son perpendiculares, ya que 1 y 2 son perpendiculares.
y
y
1
1 1 2
2
O
1
Fig. 3.13
x
O
B(1, m 2 )
x
A(1, m 1 )
(a)
(b)
Ahora, sea A el punto M 1 con coordenada x igual a 1, y sea B el punto en M 2 con coordenada x igual a
1, como se presenta en la figura 3.13(b). La ecuación punto–intersección de M 1 es y = m 1 x; por tanto, la
coordenada y de A es m 1 , ya que su coordenada x es 1. De igual forma, la coordenada y de B es m 2 . Por la
fórmula de la distancia (2.1),
2
2
OB = ( 1− 0) + ( m − 0)
= 1+
m
2
OA = ( 1− 0) + ( m − 0)
= 1+
2
1
2
2
2 2
m1
2
2
BA = ( 1− 1) + ( m − m ) = ( m −m
)
2 1
2
2 1
Entonces, por el teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo BOA,
2 2 2
BA = OB + OA
2
2
2
o ( m − m ) = ( 1+ m ) + ( 1+
m )
2 1
2
2
2
m − 2m m + m = 2+ m + m
2
2 1 1
mm
2 1
=−1
2
2
2
1
1