Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 26 Funciones exponenciales y logarítmicas
(26.29) log a (a x ) = x
Esto se deduce de (26.27). Véase el problema 6.
Las propiedades usuales de los logaritmos pueden derivarse con facilidad. Véase el problema 7.
ln
Nótese que log x x ln x
e
= = = ln x.
Por ende, el logaritmo natural resulta ser un logaritmo en el
ln e 1
sentido usual, con base e.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Evalúe a) ln(e 3 ); b) e 7 ln 2 ; c) e (ln 3)–2 ; e) 1 u .
a) ln(e 3 ) = 3, por (26.2)
b) e 7 ln 2 = (e ln 2 ) 7 = 2 7 = 128, por (26.24) y (26.3)
c) e (ln e 3)−2 ln 3 3
=
2
=
2
, por (26.10)
e e
d) 1 u = e u ln 1 = e u(0) = e 0 = 1, por (26.8)
2. Halle las derivadas de a) e 3x+1 ; b) 5 3x ; c) 3x ; d) x 2 e x .
a) D x (e 3x+1) = e 3x+1 (3) = 3e 3x+1 , por la regla de la cadena
b) D x (5 3x ) = D u (5 u )D x (u) (regla de la cadena con u = 3x)
= (ln 5)5 u (3), por (26.18)
= 3(ln 5) 5 3x
c) D x (3x ) = 3(x –1 ) = 3x –1 , por (26.26)
d) D x (x 2 e x ) = x 2 D x (e x ) + e x D x (x 2 ), por la regla del producto
= x 2 e x + e x (2x) = xe x (x + 2)
x
2 x3
3. Halle las antiderivadas siguientes: a) 32 ( ) dx; b)
x e dx.
∫
∫
a) 32 ( 3 2 3 1 x ) x
ln2 2 x
ln
32 2 x
dx = dx = + C = + C
b) Sea u = x 3 , du = 3x 2 2 x3
1
u
1
u
1
dx. Entonces, ∫ xe dx= ∫ edu= e + C=
e
3 3 3
4. Despeje x en las ecuaciones siguientes: a) ln x 3 = 2; b) ln(ln x) = 0; c) e 2x–1 = 3; d) e x – 3e –x = 2.
En general, ln A = B equivale a A = e B , y e c = D a C = ln D.
a) ln x 3 = 3 ln x. Por tanto, ln x 3 /
= 2 da 3 ln x = 2, ln x= 2 23
3 , x=
e .
b) ln (ln x) = 0 equivale a ln x = e 0 = 1, que a su vez equivale a x = e 1 = e.
ln3+
1
c) e 2x–1 = 3 equivale a 2x – 1 = ln 3, y luego a x = .
2
d) Multiplique ambos lados por e x : e 2x – 3 = 2e x , e 2x – 2e x – 3 = 0. Sea u = e x , con lo que se obtiene la
ecuación cuadrática u 2 – 2u – 3 = 0; (u – 3)(u + 1) = 0, con soluciones u = 3 y u = –1. Por tanto, e x = 3 o
e x = –1. El último resultado es imposible, ya que e x siempre es positiva. En consecuencia, e x = 3 y x = ln 3.
5.
u
u
Demuestre (26.16):
⎛
e = lím +
⎞
n ⎝
⎜1
n⎠
⎟
→+∞
.
n
⎛ u
Sea an
= +
⎝
⎜1 ⎞
n⎠
⎟ . Entonces,
ln ( 1 ) ln1
lna
= u
nln
⎛ + ⎞ ⎛ + un / −
n
u
⎝
⎟1
n⎠
⎟ =
⎞
⎝
⎜ un / ⎠
⎟
n
ln ( 1
) ln1
La expresión
un /
un /
es un cociente de diferencia para D x (ln x) en x = 1, con x = u/n.
Cuando n +, u/n 0. Entonces, ese cociente de diferencia tiende a Dx(ln x) = ( 1/ x) = 1.
Por tanto,
x= 1 x=
1
lím ln ( 1) u. lím a lím ln an a u Entonces, e e u .
n
n
n n n
x 3
+
C