Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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5. Encuentre los primeros cinco términos de la serie de Maclaurin para e x (sen x).
Método 1: sea f(x) = e x (sen x). Entonces,
Por tanto, como a
x
x
x
f′ ( x) = e (senx+ cos x), f′′ ( x) = 2 e (cos x), f′′′
( x)
= 2e (cosx−sen x)
n
f ( 4)
( x) =− e (sen x),
f
x ( 5)
x
4 y
() x =− 4e (senx+
cos x)
n
f
= ( ) ( ) , se obtiene
1 1
a0 = 1, a
n!0 1 = 1, a 2 = 1, a 3
= 3 , a 4 = 0 y a 5
=− 30 . Así,
3 5
x 2
e (sen x)
= x+ x +
x
−
x
+⋅⋅⋅
3 30
( )( − + −⋅⋅⋅) 2 3 3 5
x
Método 2 e (sen x)
= 1 + x+ x
+
x
+⋅⋅⋅ x
x x
. Si se multiplica de acuerdo con la regla
2! 3! 3! 5!
1 1
expuesta en el teorema (47.4), se obtiene el mismo resultado anterior. Por ejemplo, c 5
= 24 − + =− .
1
12 120
3 5
6. Se sabe que sen x = x −
x
+
x
−⋅⋅⋅. ¿Para qué valores de x al aproximar sen x por x se produce un error de <
3! 5!
0.005?
( 3) *
3
f ( x )
3
| x|
| R2
( x)|
= x ≤ . (Aquí, |f
3!
6
(3) (x)| 1, ya que f (3) es – cos x.) Por tanto, se requiere |x| 3 /6 < 0.005, que
equivale a |x| 3 < 0.03. Entonces, se quiere | x | < 003 . ~ 031 .
3
.
7. Si se aproxima sen x por x −
x
3
para |x| < 0.5, ¿cuál es un límite en el error?
3!
Como sen x es igual a una serie alternada para todo x, el error será menor que la magnitud del primer
término omitido, en este caso |x| 5 /5!. Cuando |x| < 0.5, el error será menor que
1
120 0 5 5
( . ) ~ 0 . 00026 ..
1
30
CAPÍTULO 47 Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
1
8. Aproxime
sen x
x
dx con un error menor que 0.005.
0
+∞ k
( − ) k+
sen x =
x x
x x x
∑ 1
3 5 7
2 1
= − + −
( 2k
+ 1)! 3! 5!
7! +⋅⋅⋅
k=
0
Por tanto,
Por consiguiente,
∫
1
0
+∞ k
sen x ( −1)
2 4 6
2k
=
x
x x x
x ∑
= 1 − + − +⋅⋅⋅
( 2k
+ 1)! 3! 5! 7!
k=
0
+∞
sen x ( )
x dx k
−1
= ∑ ( 2k
+ 1)!
k
( −1)
2k+
1
x ⎤
( 2k
+ 1)!
2k
1⎥
⎦
1
+∞
2k
∫ x dx=
∑
0
+
k = 0
k=
0
1
0
+∞ k
( −1)
=
1
∑ ( 2k
+ 1)! 2k
1
+
k = 0
Esta es una serie alternada. Se debe hallar k de manera que 1 1 0.005 o, de forma equivalente,
( 2k+ 1)!
2k+ 1
1 17
200 (2k + 1)!(2k + 1). Esto resulta verdadero para k 2. Por ende, se necesita 1− = ~ 09 . .
18
18
9. Halle una serie de potencias en torno a 0 para sen –1 x.
Por la fórmula (47.5),
1
1
1 x
n1
135 ( 2n
1)
246( 2n)
x
n
para |x| < 1
Remplace x por t 2 1
1 t
2
1
n1
135 ( 2n
1)
246( 2n)
2
t n
para |t| < 1