Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Aplique el criterio de la razón:
sn
s
+ 1
n
n+
1
n
=
| x + 1| | x + 1|
n + 1 n
n
sn+
1
= | x + 1|. Por tanto, lim = | x + 1. |
n + 1
n→+∞
s
Así, el intervalo de convergencia es |x + 1| < 1, lo cual equivale a –1 < x + 1 < 1, lo que a su vez equivale a –2
< x < 0. El radio de convergencia es 1. En el punto terminal (o punto extremo) de la derecha x = 0 se obtiene la
+∞
serie p divergente
1
( )
∑ . En el punto extremo x = –2 se obtiene la serie alternada 1 n
, la cual converge
n=1 n
n1
n
por el teorema de series alternadas. Así, la serie converge para –2 x < 0.
4. Demuestre el teorema (46.1).
Como a ( n
x c ) n
0
converge, lím n a n (x 0 – c) n = 0 por el teorema (43.5). Por tanto, hay un número
positivo M tal que |a n | |x 0 – c| n < M para todo n, por el teorema (42.1). Supóngase que |x – c| < |x 0 – c|. Sea
n
CAPÍTULO 46 Serie de potencias
r =
| x−
c|
< 1 . Entonces, |a
| x − c|
n ||x – c| n = |a n ||x 0 – c| n r n < Mr n
0
Luego,
n
| an
( x
c) | es convergente por comparación con la serie geométrica convergente Mr n . Así,
a ( n
x
c ) n es absolutamente convergente.
5. Demuestre el teorema (46.2).
Sólo es posible aquí un argumento muy intuitivo. Supóngase que ninguno de los casos a) y c) se cumple.
Como el caso a) no se cumple, la serie de potencias no converge para algún x c. Como el caso c) no
se cumple, la serie converge para algún x c. El teorema (46.1) implica que hay un intervalo (c – K, c +
K) alrededor de c donde la serie converge. El intervalo de convergencia es el máximo de dicho intervalo.
[Mediante el teorema (46.1), se toma el “mínimo límite superior” R 1 de todo K tal que la serie converge en (c
– K, c + K). Entonces, (c – R 1 , c + R 1 ) es el intervalo deseado.]
6. Demuestre el teorema (46.4).
Supóngase que x está en A y > 0. Como f n converge uniformemente a f en A, existe un entero positivo
m tal que si n m, entonces |f n (y) – f(y)| < /3 para todo y en A. Como f m es continua en x, existe > 0 tal que
para todo x en A, si |x – x| < , luego |f m (x ) – f m (x)| < /3. Por tanto, si |x – x| < ,
* * * *
| f( x ) f( x)| |( f( x ) f ( x )) ( f ( x ) f ( x))
( f ( x) f( x))|
3 3 3
Esto prueba la continuidad de f en x.
m m m
| f( x * ) f ( * )| | ( *
m
x fm x ) fm ( x)| | f ( x) f( x)|
m
m
7. Si f n converge uniformemente a f en [a, b] y cada f n es continuo en [a, b], entonces ∫ f ( x) dx = lím fn
( x)
dx
a
n→+∞ ∫ .
a
Supóngase que > 0. Existe un entero positivo m tal que si n m, entonces | f
n ( x) f( x)|
para
b
todo x en [a, b]. Por tanto, | f ( x) f( x)| dx. Entonces,
b a
b
b
a
n
f ( x) dx fn
( x) dx ( fn
( x) f ( x)) dx | fn
( x) f( x)|
dx
para n m
a
a
b
a
b
a
b
b
8. Demuestre que la función f definida por una serie de potencias es continua en su intervalo de convergencia
(corolario 46.5).
f (x) = lím n S n (x) y la convergencia es uniforme por el teorema (46.3). Cada S n (x), que es un polinomio,
es continuo. Por tanto, f es continuo por el teorema (46.4).