Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Para determinar el signo correcto, nótese que cuando la curva es cóncava hacia arriba, y'' > 0, y como
C está por encima de P, – y > 0. Entonces, el signo apropiado en este caso es +. (Demuestre que el signo
también es + cuando y'' < 0.) Entonces,
( y'
y
)
y''
1
2
y
2
y' [ 1
( y' )]
x
y''
10. Determine la ecuación del círculo de curvatura de 2xy + x + y = 4 en el punto (1, 1).
CAPÍTULO 38 Curvatura
Al derivar se obtiene 2y + 2xy' + 1 + y' = 0. En (1, 1), y' = –1 y 1 + (y') 2 = 2. Al derivar de nuevo se obtiene
4
4y' + 2xy'' + y'' = 0. En (1, 1), y'' = 3
. Entonces,
K =
43 /
R= 3 2
= − − 12 ( )
, , α 1 =
5
, β = 1+ 2
=
5
2 2 2
43 / 2
43 / 2
La ecuación requerida es (x – ) 2 + (y – ) 2 = R 2 5
o ( x− ) + ( y− ) =
11. Determine la ecuación de la evoluta de la parábola y 2 = 12x.
En P(x, y):
2
2 2 5 2 2 9 2
.
dy
dy
dy
=
6 3
= 1+ = 1+ 36 = 1+ 3
2
⎛ ⎞
,
2
, =−
36 3
2
=−
/
dx y x ⎝ dx ⎠ y x dx y 2x
3 3 2
Entonces
x
3/ x ( 1
3/ x)
32 /
32 / x
2 3( x 3)
x 3x
6
3
y
1
y 36/
y
3
36/
y
2
3 3
y 36y y
y
36 36
Las ecuaciones = 3x + 6 y = –y 3 /36 pueden considerarse ecuaciones paramétricas de la evoluta con x y
y, ligadas por la ecuación de la parábola, como parámetros. Sin embargo, es relativamente sencillo eliminar los
parámetros. Así, x = ( – 6)/3 y y
3
36 , y al sustituir en la ecuación de la parábola queda
(36) 2/3 = 4( – 6) o 81 2 = 4( –6) 3
En la figura 38.7 se presentan la parábola y su evoluta.
y
Parábola
O
(6, 0)
Evoluta
x
Fig. 38.7