Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 45 Series alternadas
EJEMPLO 45.1.
La serie armónica alternada
1 1 1 1
2
1 1
3
4
5
6
converge en virtud del teorema de la serie alternada. Por el numeral II de ese teorema, la magnitud |R n | del error
1
después de n términos es menor que
n + 1
. Si se desea un error menor que 0.1, es suficiente tomar 1
01
1
n + 1
≤ . = 10
,
que equivale a 10 n + 1. Entonces, n 9. Así, debe usarse
A 9
= 1− 1 +
1
−
1
+
1
−
1
+
1
−
1
+
1
=
1879
~ 0. 7456
2 3 4 5 6 7 8 9 2520
Definición. Considérese una serie arbitraria s n .
s n es absolutamente convergente si |s n | es convergente.
s n es condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente.
EJEMPLO 45.2. La serie armónica alternada ( 1)
n 1
1
n
es condicionalmente convergente.
n
EJEMPLO 45.3 La serie ( 1)
1 1
2
es absolutamente convergente.
n
Es necesario enunciar dos resultados significativos sobre la convergencia absoluta y condicional. En adelante,
por reorganización de una serie se entenderá una serie obtenida de una serie dada mediante la reorganización o reordenamiento
de sus términos (es decir, cambiando el orden en el que se presentan los términos).
1. Si s n es absolutamente convergente, entonces toda reorganización de s n es convergente y tiene la misma
suma que s n .
2. Si s n es condicionalmente convergente y si c es cualquier número real o + o –, entonces hay una reorganización
de s n con suma c.
Teorema 45.2. Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.
En el problema 1 puede verse la demostración.
Observe que una serie positiva es absolutamente convergente si y sólo si es convergente.
El siguiente es probablemente el más útil de todos los criterios de convergencia.
Teorema 45.3. El criterio de la razón. Sea s n una serie cualquiera.
1. Si lím
n
2. Si lím
n
3. Si lím
n
sn 1
r 1 , entonces
s s n es absolutamente convergente.
n
s
s
n1
n
n
r y (r > 1 o r = +), entonces s n , diverge.
sn
1
1, entonces no se puede deducir ninguna conclusión sobre la convergencia o divergencia de
s
s n .
Para ver una demostración, repase el problema 14.
Teorema 45.4. El criterio de la raíz.
Sea s n una serie cualquiera.
1. Si Si lím
2. Si lím
n
3. Si lím
n
n
n
n | s | r 1, entonces s n es absolutamente convergente.
n
n
n | s | r y (r > 1 o r = +), entonces s n es absolutamente divergente.
| s | 1, entonces no se puede deducir ninguna conclusión sobre la convergencia o divergencia de s n .
n
En el problema 15 puede ver una demostración.