Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Ahora, recíprocamente, suponga que m 1 m 2 = –1, donde m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas no
verticales 1 y 2 . Entonces, 1 no es paralela a 2 . (De lo contrario, por el teorema 3.1, m 1 = m 2 y, por tanto,
2
m 1
=− 1, lo que contradice el hecho de que el cuadrado de un número real nunca es negativo.) Debe mostrarse
que 1 y 2 son perpendiculares. Sea P la intersección de 1 y 2 (fig. 3.14). Sea 3 la recta que pasa por
P que es perpendicular a 1 . Si m 3 es la pendiente de 3 , entonces, por la primera parte de la demostración,
m 1 m 3 = –1 y, por consiguiente, m 1 m 3 = m 1 m 2 . Como m 1 m 3 = –1, entonces m 1 0; por tanto, m 3 = m 2 . Como 2
y 3 pasan por el mismo punto P y tiene la misma pendiente, entonces deben coincidir. Puesto que 1 y 3
son perpendiculares, 1 y 2 también lo son.
y
CAPÍTULO 3 Rectas
1
Fig. 3.14
2
3
P
x
6. Pruebe que si a y b no son ambos cero, entonces la ecuación ax + by = c es la ecuación de una recta y,
recíprocamente, toda recta tiene una ecuación de esa forma.
Suponga que b 0. Entonces, si se despeja y en la ecuación ax + by = c se obtiene la ecuación punto–
intersección y = (–a/b) x + c/b de una recta. Si b = 0, en consecuencia a 0, y la ecuación ax + by = c se
reduce a ax = c; esto equivale a x = c/a, la ecuación de una recta vertical.
Recíprocamente, toda recta no vertical tiene una ecuación punto–intersección y = mx + b, la cual equivale a
–mx + y = b, una ecuación de la forma deseada. Una recta vertical tiene una ecuación de la forma x = c, la cual
también es una ecuación de la forma requerida con a = 1 y b = 0.
7. Demuestra que la recta y = x forma un ángulo de 45° con el eje x positivo; es decir, el ángulo BOA en la figura
3.15 tiene 45°.
y
A(1, 1)
O
B
x
Fig. 3.15
Sea A el punto sobre la recta y = x con coordenadas (1, 1). Se traza una perpendicular AB al eje x positivo.
Entonces, AB = 1 y OB = 1. Por tanto, el ángulo OAB = ángulo BOA, ya que son los ángulos de la base del
triángulo isósceles BOA. Por consiguiente, el ángulo OBA es recto:
Ángulo OAB + ángulo BOA = 180° – ángulo OBA = 180° – 90° = 90°
Puesto que el ángulo BOA = ángulo OAB, cada uno tiene 45°.