Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

383
EJEMPLO 46.7. Esta es una continuación del ejemplo 46.6. Por la fórmula (46.8)
+∞
ln ( 1+ x) = ∑( −1)
−1
n
n x
n
n=
1
para |x| < 1
En el punto terminal de la derecha x = 1 del intervalo de convergencia, la serie de potencias se convierte en la
serie armónica alternada convergente
n1
( 1)
1 1 1 1
1
2 3 4
n
n1
CAPÍTULO 46 Serie de potencias
Por el teorema de Abel, esta serie es igual al lím ln( 1 x) ln2. Entonces,
x1
1 1 1
ln 2 1 2 3 4 (46.10)
EJEMPLO 46.8.
Empiece de nuevo con
1
2 3
1
1 n
x x
x
x x x
n0
n
para |x| < 1
Se remplaza x por –x 2 para obtener
1
1 + x
2
+∞
∑
2 2 4 6
= − 1 n n
( ) x = 1− x + x − x +⋅⋅⋅
(46.11)
n=
0
Como |–x 2 | < 1 equivale a |x| < 1, (46.11) se cumple para |x| < 1.
Ahora, por el teorema 46.6a), la antiderivada tan –1 x de 1 puede obtenerse mediante integración término a
2
término:
1+ x
2n1
1
n
tan x ( 1) x
| |
K para x 1
2 n 1
n0
K x
1
3
3 1 5 1 7
x 5 x 7 x
Aquí, K es la constante de integración. Si x = 0 y se observa que tan -1 0 = 0, se deduce que K = 0. Por tanto,
2n1
1
n
tan ( )
1 3 1 5 1
x 1
x
x 2 n 1 3 x 5 x 7 x 7
(46.12)
n0
En el punto terminal de la derecha x = 1 del intervalo de convergencia, la serie en (46.12) se convierte en
( 1)
n0
n
1
2 1 1 1 1 1
n
3 5 7
la cual converge en virtud del teorema de las series alternadas. Entonces, por el teorema de Abel,
1 1 1
= − 1 −1
1− 3 + 5 − 7 +⋅⋅⋅ lím tan ( x)
= tan 1=
π (46.13)
x→1
−
4