Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 39 Vectores en un plano
C
c
P
(a b) c
a (b c)
a
a b
b c
A
b
B
Fig. 39.9
3. Sean a, b y c tres vectores que comienzan desde P tales que sus puntos finales, A, B y C, quedan en una recta,
como se muestra en la figura 39.10. Si C biseca a BA en la razón x:y, donde x + y = 1, demuestre que c = xa + yb.
Observe que
c = PB + BC = b + x(a – b) = xa + (1 – x)b = xa + yb
Como ejemplo, si C biseca a BA, entonces c= 1 ( a+
b ) y BC = ( a −b
)
2
1
2
.
B
x
C
a b
y
A
b
c
a
P
Fig. 39.10
4. Demuestre que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
Sean las diagonales que se intersecan en Q como se muestra en la figura 39.11. Como PB = PQ + QB =
PQ – BQ, hay números positivos x y y tales que b = x(a + b) – y(a – b) = (x – y)a + (x + y)b. Entonces, x + y =
1 y x – y = 0. Por tanto, x = y = 1 2 , y Q es el punto medio de cada diagonal.
C
B
a b
b
a b
Q
a
A
P
Fig. 39.11
5. Para los vectores a = 3i + 4j y b = 2i – j, determine la magnitud y la dirección de a) a y b; b) a + b; c) b – a.
2 2 2 2
a) Para a = 3i + 4j: | a | = a1
+ a2
= 3 + 4 = 5; tan a2/ a1= 4 3 y cos /| a |
ángulo del primer cuadrante y es 53º 8’.
a 1
3
5
; entonces, es un
Para b = 2i − j: | b | = 4+ 1 = 5; tan 1 2 y cos 2/
5 ; = 360º – 26º 34’ = 333º 26’.