Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Sucesiones infinitas
Sucesiones infinitas
Una sucesión infinita s n es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos; s n es el valor de esta
función para un entero n positivo dado. A veces se indica s n con sólo escribir los primeros términos de la
sucesión s 1 , s 2 , s 3 ,…, s n … En este capítulo se considerarán sólo las sucesiones en las que los valores s n sean
números reales.
EJEMPLO 42.1
a)
1
n es la sucesión 1, 1 , 1 ,
1
, ...,
1
, ...
2 3 n
b)
( ) n es la sucesión 1 2
1
2
,
1
,
1
, ..., 1
n
, ...
4 8 2
c) n 2 es la sucesión de cuadrados 1, 4, 9, 16, …, n 2 , ...
d) 2n es la sucesión de enteros positivos pares 2, 4, 6, 8, …, 2n,…
e) 2n – 1 es la sucesión de enteros impares positivos 1, 3, 5, 7,…
Límite de una sucesión
Si s n es una sucesión infinita y L es un número, entonces que lím n s n = L si s n se aproxima arbitrariamente
a L cuando n crece sin límite.
Desde un punto de vista más preciso, lím n s n = L significa que para todo número real positivo > 0,
hay un entero positivo n 0 tal que, cuando n n 0 , se tiene |s n – L| < . Para ilustrar lo que esto significa, se
colocan los puntos L, L – y L + en una recta numérica (fig. 42.1), donde es algún número real positivo.
Ahora, si se colocan los puntos s 1 , s 2 , s 3 ,… en la recta numérica, tarde o temprano habrá un índice n 0 tal que
sn, sn sn s
0 0+ 1, 0+ 2, n0+ 3,
... y todos los términos subsiguientes de la sucesión quedarán dentro del intervalo (L – ,
L + ).
Fig. 42.1
Si lím n s n = L, entonces la sucesión s n converge a L. Si existe un número L tal que s n converge a L,
entonces s n es convergente. Cuando s n no es convergente, entonces es divergente.
1
EJEMPLO 42.2.
n
es convergente, porque lím 1
n 0. Para comprobarlo, se observa que 1 puede aproximarse
arbitrariamente a 0 haciendo a n lo suficientemente grande. Esto se explica al observar que 1 10 = 0.1, 1
100 = 0.01,
1
n n
= 0.001 y así sucesivamente. Para comprobar que la definición precisa se satisface, sea un número positivo
1000
cualquiera. Se toma n 0 como el entero positivo más pequeño mayor que 1 . Entonces 1 < n 0. Por tanto, si n n 0 ,
entonces n > 1 y, por consiguiente, 1 n < . Así, si n n 0 | 1 n – 0| < . Con esto se comprueba que lím 1
n 0. n
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