Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 46 Serie de potencias
EJEMPLO 46.9. Se sabe por el ejemplo 46.3 que
derivación término a término (teorema 46.7),
f ( x)
+∞
∑
x
n
n
!
n = 0
converge para todo x. Sea f ( x)
=
n1
n
x
x
n f( x)
( )! n!
1
n1 Observe que f(0) = 1. Por consiguiente, por la fórmula (28.2), f(x) = e x . Así,
n0
+∞
∑
n=
0
n
x para todo x. Por
n!
e
x
+∞
n
=
x
∑ n !
n=
0
para todo x (46.14)
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determine el intervalo de convergencia de la serie de potencias
n
( x )
( x
) ( x
)
2 2 2
( x 2)
n
2 3
n1
2 3
e identifique la función representada por esta serie de potencias.
Aplique el criterio de la razón:
sn
s
+ 1
n
=
n+
1
| x − 2| | x − 2|
n + 1 n
n
n
sn
1
= | x − 2|. Luego, lím | x 2
|
n + 1
n
s
n
Por tanto, el intervalo de convergencia es |x – 2| < 1. (Esto equivale a –1 < x – 2 < 1, que a su vez equivale
a 1 < x < 3.) En el punto terminal de la derecha x = 3, la serie es la serie armónica divergente, y en el punto
terminal izquierdo x = 1, la serie es la negativa de la serie armónica alternada convergente. Por tanto, la serie
converge para 1 x < 3.
+∞
n
( x − )
Sea h( x)
= ∑ 2
n
. Por el teorema 46.7, h( x)
n
( x 2)
1 . Esta es una serie geométrica con
n=
n1
primer término 1 y cociente (x – 2); entonces, su suma es
1
=
1
. Por ende,
1−
( x −2
) 3 − x
h( x)
1
. Por
3 x
ende, h( x) =
dx
∫ ln| x|
C
− x
=− 3 − + Ahora,
3
+∞
n
( 2−
2)
h( 2)
= ∑ = 0 y −ln | 3− 2| + C = 0.
Así, C = 0
n
n=
1
Además, como x < 3 en el intervalo de convergencia, 3 – x > 0 y, por consiguiente, |3 – x| = 3 – x. Por tanto,
h(x) = –ln(3 – x).
En los problemas 2 y 3, determine el intervalo de convergencia de la serie dada y el comportamiento en los
puntos terminales (si hay alguno).
2.
+∞
n
2 3
x
x
x x
∑ 2
= + + +⋅⋅⋅
n 4 9
n=
1
Aplique el criterio de la razón:
sn
s
+ 1
n
( )
n+
1 n
=
|| x || x n
2 2
=
( n + 1)
n n + 1
2
sn
1
||. x En consecuencia, lím | x|
.
n
s
n
Por tanto, el intervalo de convergencia es |x| < 1. El radio de convergencia es 1. En x = 1, se obtiene la serie p
convergente con p = 2. En x = –1, la serie converge por el criterio de series alternadas. Así, la serie converge
para –1 x 1.
3.
+∞ n
( x + )
( x+
) ( x+
)
∑ 1 1 1
= ( x + 1)
+ +
n
2 3
n=
1
2 3
+⋅⋅⋅