Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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PROBLEMAS RESUELTOS
x − 1
1. Dada f ( x) =
2
, halle: a) f (0); b) f (–1); c) f (2a); d) f (1/x); e) f (x + h).
x + 2
0−
1 1
a) f ( 0)
= =− b) f ( )
0+ 2 2
− = − 1 − 1 2
1 =−
1+
2 3
2
1/
x − 1 x x
d) f ( 1/
x)
=
2
2
1/
x + 2 = −
1+
2x
x + h −1
x h
e) f ( x + h)
=
( x + h)
+ = + −1
2 2 x 2 + 2hx + h
2 + 2
2a
− 1
c) f ( 2a)
=
2
4a
+ 2
CAPÍTULO 6 Funciones
2. Si f (x) = 2 x 15
, demuestre que: a) f ( x+ 3) − f( x− 1) = 2 f( x)
, y b) f ( x + 3)
= f ( 4).
f( x−
1)
a) f x f x x + x −
( + 3) − ( − 1) = 2 − 2 = 2 x ( 2 − ) = f( x)
3 1 3 1
2
15
2
b)
x+
3
f( x+
3)
2
4
=
x
= = f ( )
f( x−
−1
2 4
1)
2
3. Determine los dominios de las funciones:
2 2
1
a) y = 4 − x
b) y = x −16 c) y =
x − 2
1
x
d) y =
e)
2
y =
2
x − 9
x + 4
a) Como y debe ser real, 4 – x 2 0, o bien, x 2 4. El dominio es el intervalo –2 x 2.
b) Aquí, x 2 – 16 0, o bien, x 2 16. El dominio consta de los intervalos x –4 y x 4.
c) La función se define para cada valor de x excepto 2.
d) La función se define para x ≠ 3.
e) Como x 2 + 4 ≠ 0 para todo x, el dominio es el conjunto de todos los números reales.
4. Trace la gráfica de la función definida como sigue:
f(x) = 5 cuando 0 < x 1 f(x) = 10 cuando 1 < x 2
f(x) = 15 cuando 2 < x 3
f(x) = 20 cuando 3 < x 4, etc.
Determine el dominio y el rango de la función.
La gráfica se muestra en la figura 6.3. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos y el
rango es el conjunto de enteros 5, 10, 15, 20, …
y
25
20
15
10
5
1 2 3 4 5
x
Fig. 6.3
5. Se requieren 2000 pies de alambre para cercar un terreno rectangular. Si una de las dimensiones del terreno es
x (en pies), exprese su área y (en pies cuadrados) como función de x y determine el dominio de la función.
Como una dimensión es x, la otra es 1 2 ( 2000 − 2x)
= 1000 − x. Entonces el área es y = x(1 000 – x) y el
dominio de esta función es 0 < x < 1000.
6. Exprese la longitud l de la cuerda de un círculo de radio 8 como función de su distancia x del centro del
círculo. Determine el dominio de la función.