Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas
Elipses
Para trazar la gráfica de la ecuación x 2
9 + y2
4
= 1, de nuevo se calculan algunos valores y se ubican los puntos
correspondientes, como se muestra en la figura 5.2. La gráfica sugerida por esos puntos, que también se dibuja
en la figura, es un miembro de la familia de curvas denominadas elipses.
En particular, la gráfica de una ecuación de la forma x 2
2 + y 2
2 = 1 es una elipse, igual que toda curva obtenida
a b
de ésta mediante traslación o rotación.
Observe que, a diferencia de las parábolas, las elipses están acotadas. De hecho, si (x, y) está en la gráfica de
x 2
9 + y2
2
x
4
= 1, entonces
9 ≤ x 2
9 + y2
4 = 1, y, por tanto, x2 9. En consecuencia, –3 x 3. Luego, la gráfica queda
entre las rectas verticales x = –3 y x = 3. El punto que se sitúa más a la derecha es (3, 0), y el que queda más a la
izquierda es (–3, 0). Con un razonamiento similar se demuestra que la gráfica queda entre las rectas horizontales
y = –2 y y = 2, y que su punto más bajo es (0, –2) y el más alto es (0, 2). En el primer cuadrante, como x crece
de 0 a 3, y decrece de 2 a 0. Si (x, y) es cualquier punto en la gráfica, entonces (–x, y) también está en la gráfica.
Por tanto, ésta es simétrica respecto al eje y. De manera similar, si (x, y) está en la gráfica, también lo está (x,
–y) y, por ende, la gráfica es simétrica respecto al eje x.
x
y
y
3
2
1
0
–1
–2
–3
0
2
5 3 1.5
4
2 3 1.9
2
4
2 3
2
5 3
0
(–x, y) (x, y)
x
–3 –2 –1 0 1 2 3
(x, –y)
Fig. 5.2
Cuando a = b, la elipse x 2
2 + y 2
2
a b
= 1 es el círculo con la ecuación x 2 + y 2 = a 2 , es decir, un círculo con centro
en el origen y radio igual a a. Por ende, los círculos son casos especiales de elipses.
Hipérbolas
Considere la gráfica de la ecuación x2
– x2
9 9
= 1. Algunos de los puntos en esta gráfica se tabulan y se ubican en
la figura 5.3. Estos puntos sugieren la curva que se muestra en la figura, la cual es un miembro de una familia
de curvas denominadas hipérbolas. Las gráficas de las ecuaciones de la forma x 2
2
– y 2
2 = 1 son hipérbolas, como lo
a b
son todas las curvas obtenidas de éstas mediante traslaciones o rotaciones.
y
x
y
3
4
5
6
0
2
7 3 1.76
8
2.76
3
23 3.46
4
2
–4 –2 2 4
x
–2
–4
Fig. 5.3