Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 36 Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución
Por (36.1)
S = 2π
∫
3
0
y
y
2
+ 36
y
∫
3
dx = 2π
12x + 36 dx
0
= 2π( 8( 12x
+ 36) 3 2 3
)]
0
= 24( 2 2 −1)
π
2. Determine el área S de la superficie de revolución creada al girar alrededor del eje y el arco de x = y 3 de y = 0 a
y = 1.
dx
dy
2
= 3y
2 4
y 1+ ⎛ dx ⎞
1 9
⎝ dy ⎠ = + y . Entonces, por (36.2)
1
0
∫
S = 2 x 1 + 9 4
y dy= 2 3
y 1 + 9 4
π
π y dy
1
0
1
1
=
π
2
4
3
( 1+
9y
)
18 ∫ ( 36y
) dy
0
3
=
π 2
+
2
18 3 1 9 4 1
( y ) ]
0
10 10 1
27 ( )
3. Establezca el área de la superficie de revolución creada cuando gira en torno al eje x el arco de y 2 + 4x = 2 ln y
de y = 1 a y = 3.
d
S
y
dx
y
2
3 2
1
dy
dy y
y dy 3
2 1 2
1 y 2
( )
32
e
1 2 dy
1
3
∫
4. Halle el área de la superficie de revolución creada al girar un lazo de la curva 8a 2 y 2 = a 2 x 2 – x 4 alrededor del
eje x (fig. 36.1).
y
O
a
x
Fig. 36.1
Aquí,
dy
dx
=
ax−
2x
2
8ay
2 3
2
2 2 2
2 2
2 3 2
y 1+ ⎛ dx ⎞ ( a − x ) ( a − x )
= 1+
2 2 2
=
2
2 2 2
⎝ dy ⎠ 8a ( a − x ) 8a ( a − x )
a dy
Por tanto S 2
2 1
dx 2
0 dx
a
2 2
3 2
1
2
a x xdx a
4a
( )
0
4
2
0
a
x a x
2a
2
2
2 2
2 2
3a
2x
2 2
2a 2 a x dx
5. Establezca el área de la superficie de revolución creada al girar en torno al eje x la elipse x 2 2
y
+ = 1.
16 4
S = 2π
∫
4
−4
y
2 2
16y
+ x
4
dx =
π
2
− x dx
4y
2∫
64 3
−4
x
=
π ⎛ 3
2 3 ⎝
⎜ 2
64− 3x
+ 32sen
2 −1
4
⎛ x 3 ⎞ ⎞ ⎤ ⎛ 4 3
8 1
⎝
⎜ 8 ⎠
⎟
⎠
⎟ ⎥ = π +
9 π ⎞
⎦ ⎝
⎜
⎠
⎟
−4