Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 58 Masas de densidad variable
(2, 4)
2 –
(, )
Fig. 58.4
5. Encuentre el centro de masa de una placa en forma de la mitad superior de la cardioide r = 2(1 + cos q) si la
densidad varía como la distancia al polo (fig. 58.5).
8
2 20
m (, r ) dA ( kr) rdrd
3 k ( 1 cos )
d 3 k
R
M (, r ) ydA
( kr)(se
r n)
rdrd
x
R
4
4k
( 1cos ) sen
d
0
21 ( cos )
0
0
21 ( cos )
0
0
M (, r ) xdA
( kr)(cos r )
r dr d
14k
y
R
21 ( cos )
0
0
M
y
Entonces x = = 21
m 10 , y M
= = 96
25π , y el centro de masa tiene coordenadas 21 96
,
10 25
.
m x
y
128
5
k
0
P(r, )
O
r
x
Fig. 58.5
6. Halle el momento de inercia respecto al eje x de la placa cuyos bordes son un arco de la curva y = sen x y el
eje x, si su densidad varía con la distancia al eje x.
∫∫
m= δ( x, y) dA= kydydx= k sen xdx=
R
∫
π senx
0
∫
0
1
2
2 1
4 k
2 2
I = δ( xyy , ) dA=
( ky)( y)
dydx= 1 k 4
3 3
sen xdx= kπ
= m
4
x
∫∫
R
y
∫
π sen x
0
∫
0
∫
π
0
∫
π
0
π
32
8
O
P(x, y)
y
(, 0)
x
Fig. 58.6