Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 8 Continuidad
a) f( x)= x
Discontinuidad no removible en x = 0
b) f( x)
=
x −
( x+ 3)( x
−2)
Discontinuidades no removibles en x = –3 y x = 2
c)
( x+ 2)( x−1)
f( x)
=
( x − 3)
2 Discontinuidad no removible en x = 3
3
d) f( x)=
x − 27
2
Tiene una discontinuidad removible en x = 3. [Observe que x
x − 9
– 27
= (x – 3)(x 2 + 3x + 9).] También tiene una discontinuidad no
removible en x = –3
2
e) f( x)=
4 − x
Tiene una discontinuidad removible en x = 2. Observe que
2
3− x + 5
2
2
4 − x 3+ x + 5
2
3 5
2
2
3− x + 5 3+ + 5
x
x
+
2
f) f( x)
=
x + x−2
2
( x − 1)
Tiene una discontinuidad no removible en x = 1
g) f (x) = [x] = el mayor entero x Tiene una discontinuidad de salto en cada entero
h) f (x) = x – [x] Tiene una discontinuidad no removible en cada entero
i) f (x) = 3x 3 – 7x 2 + 4x – 2 Un polinomio no tiene discontinuidades
{
0 x
j) f( x)=
= 0
Discontinuidad removible en x = 0
2 si x ≠ 0
⎧x
si x≤
0
⎪
2
k) f( x)=
⎨x
si 0< x<
1
Sin discontinuidades
⎩⎪ 2−x
si x≥1
f( ah) fa ( )
2. Demuestre que la existencia de lím f(x)
implica que f es continua en x = a.
xh h
f
lím f(x)( ( ) ( )) lím ( a h ) fa
f ah fa
( ) h
xh
xh h
lím f( a h) fa ( ) f
lím lím ( a h ) f( a) h
00
xh h
xh xh h
Pero
lím ( f( a+ h) − f( a)) = lím f( a+
h) − lím f( a)
= lím f( a+ h) − fa ( ).
x→h
x→h x→h x→h
Por tanto, lím f( a+ h) = fa ( ).. Observe que lím f( a+ h) = lím f ( x).
. Así, lím f( x) = f( a)
.
x→h
x→h
3. Pruebe el teorema 8.8.
Por la continuidad de f en c, lím f( x) = f( c)
. Si se toma = f (c)/2 > 0, existe un positivo tal que 0 < x – c
x→h
< implica que f (x) – f (c) < f (c)/2. La última desigualdad también es verdadera cuando x = c. Luego, x – c <
implica f (x) – f (c) < f (c)/2. Esta última implica que –f(c)/2 < f (x) – f (c) < f (c)/2. Al sumar f (c) a la
desigualdad de la izquierda se obtiene f (c)/2 < f (x).
x→h
x→h
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
4. Determine las discontinuidades de las funciones siguientes y establezca por qué la función no es continua en
tales puntos. (cg) Compruebe las respuestas representando la función en una graficadora.
a) f( x)=
x
2 − x−
x
3 + 2
10
x+ 3 si x≥2
b) f( x)
= { 2
x + 1 si x<
2