Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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PROBLEMAS RESUELTOS
1. El gas escapa de un globo esférico a razón de 2 pies 3 /min. ¿Cuán rápido decrece el área del globo cuando el
radio es de 12 pies?
Una esfera de radio r tiene el volumen V = 4 3
3 π r y superficie S = 4r 2 . Por hipótesis, dV/dt = –2. Ahora,
dV/dt = 4r 2 dr/dt. Entonces, –2 = 4r 2 dr/dt, por tanto, dr/dt = –1/(2r 2 ). Además, dS/dt = 8r dr/dt. Por
2
4 1
consiguiente, dS dt 8r 2r 4 r . Así, cuando r = 12, dS/ dt =− 12 =− 3 . Es decir, la superficie está
decreciendo a una razón de 1 3 pies 2 /min.
CAPÍTULO 20 Razones
2. De un depósito cónico sale agua a una razón de 1 pulg 3 /s. Si el radio de la base del depósito es de 4 pulgadas
y la altura de 8 pulgadas, determine la razón a la que el nivel del agua desciende cuando está a 2 pulgadas de
la parte superior. (La fórmula para el volumen V de un cono es 1 2
3 r h , donde r es el radio de la base y h es la
altura.)
Sea r el radio y h la altura de la superficie del agua en el instante t, y sea V el volumen del agua en el cono
(fig. 20.2.) Por triángulos semejantes, r/4 = h/8, donde r = 1 2 h .
Entonces,
Fig. 20.2
V = 1 r 2 h=
1 3
π h
3 12 π . Así, dV
dt
= 1 4
2
π h dh .
dt
Por hipótesis, dV/dt = –1. Luego,
1
h dh
4
2
dt
, lo que resulta en dh
dt h
.
1
4
2
Ahora, cuando el nivel del agua está a 2 pulgadas de la parte superior del depósito, h = 8 – 2 = 6. Por tanto, en
1
ese momento, dh dt , y, entonces, el nivel del agua está bajando a una razón de 1 pulg/s.
9
9
3. La arena que cae de un ducto forma un montículo cónico cuya altura es siempre igual a 4 3 del radio de la base.
a) ¿Cuán rápido se incrementa el volumen cuando el radio de la base es de 3 pies y aumenta a una razón de 3
pulg/min? b) ¿Cuán rápido aumenta el radio cuando está a 6 pies y el volumen se incrementa a una razón de
24 pies 3 /min?
Sea r el radio de la base y h la altura del montículo en el instante t. Entonces,
h = 4 r y V =
1 2
r h =
4 3
π π r . Por ende,
3 3 9
dV = 4 2
πr dr
dt 3 dt
a) Cuando r = 3 y dr/ dt = 1 4, dV/dt = 3 pies 3 /min.
b) Cuando r = 6 y dV/dt = 24, dr/dt = 1/(2) pies/min.
4. El barco A navega hacia el sur a 16 millas/hora, y el barco B, situado a 32 millas al sur de A, navega hacia
el este a 12 millas/hora. a) ¿A qué razón se acercan o separan al cabo de 1 hora? b) ¿Después de 2 horas? c)
¿Cuándo dejan de acercarse y a qué distancia se encuentran en ese momento?