Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 45 Series alternadas
3 5 7
9. 2
2
2
2
.
3! 5! 7!
2n−1
n+
1
sn
= ( −1)
2
. Se aplica el criterio de la razón:
( 2n
− 1)!
s
n+ n−
n+
1
=
2 2 1 2
2 1
=
4
sn
( 2n+ 1)! ( 2n−1)! ( 2n+
1)( 2n)
sn
1
Por tanto, lím 0 y, por consiguiente, la serie es absolutamente convergente.
n
s
n
10. 1
4 9 16
3 3 3
2 2 1
3 1
4 1
2
2
n+
1
s
n
n
= ( −1)
3 . Como
n
3 es una sucesión decreciente para n 2, la serie dada converge por el
n + 1 n + 1
teorema de series alternadas. La serie |s n | es divergente por la comparación por paso al límite con
1
. Por
n
tanto, la serie dada es condicionalmente convergente.
11. 1
2 3 4
3 3 3
2 2 1
3 1
4 1
.
n+
1
s
n
n
= ( −1)
3 .
n + 1 |s n | es convergente por la comparación por paso al límite con
dada es absolutamente convergente.
1
. Por ello, la serie
n 2
12.
1
1
1
1
2 3 4
1
2 2 2 3 2 4 2
.
n
sn
= − + 1
( 1)
1
n
. Se aplica el criterio de la razón:
n2
sn+
1
=
1 1 n
n+
1 n
= ⋅
1
s ( n+
12 ) n2 n + 1 2
Así, lím
n
n
n
sn 1
1
1
s 2
. Entonces, la serie dada es absolutamente convergente.
13. ( 1)
n1
3
n .
( n 1)!
Se aplica el criterio de la razón:
Así, lím
n
n
sn
s
+ 1
=
n
3
n +
3 3
( 1)
n
=
n + 1 1
( n + 2)! ( n + 1)!
( n ) n+
2
( )
sn
1
0. Por tanto, la serie dada es absolutamente convergente.
s
14. Justifique el criterio de la razón (teorema 45.3)
sn 1
a) Sea lím r
1 . Se selecciona t tal que r < t < 1. Entonces, existe un entero m tal que si n m,
n sn
sn+ 1
≤ t. Por tanto,
s
n
|s m+1 | t|s m |, |s m+2 | t|s m+1 | t 2 |s m |, … |s m+k | t k |s m |
Pero t k |s m | es una serie geométrica convergente (con razón t < 1). Luego, por el criterio de comparación,
|s n| converge. Así, s n es absolutamente convergente.
b) Sea lím
n
s
s
n1
n
r y r > 1 o r = +. Se selecciona t de manera que 1 < t < r. Existe un entero positivo m tal
que si n m, s n+ 1
≥ t. Por tanto,
s
n
|s m+1 | t|s m |, |s m+2 | t|s m+1 | t 2 |s m |, … |s m+k | t k |s m |