Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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8. Encuentre la derivada de f (x) = x 1/3 . Analice f '(0).
f( xx) ( x
x)
13 /
f( x x) f( x) ( x x)
x
13 / 13 /
[( x x) x ][( x x) x ( xx)
23 / 13 / 13 / 23 /
( xx) x ( x x)
x
13 / 13 / 23 / 13 / 13 /
f( x
x)
f( x)
1
x
( xx) x ( x x)
x
23 / 13 / 13 / 23 /
f( x) lím
1
1
x0
( xx) x ( x x)
x 3x
23 / 13 / 13 / 23 / 23 /
x
23 /
]
CAPÍTULO 9 La derivada
La derivada no existe en x = 0 porque allí el denominador es cero. Observe que la función f es continua
en x = 0.
9. Interprete dy/dx geométricamente.
En la figura 9.1 se observa que y/x es la pendiente de la recta secante que une un punto arbitrario pero
fijo P(x, y) y un punto próximo Q(x + x, y + y) de la curva. Cuando x 0, P permanece fijo mientras Q
se mueve a lo largo de la curva hacia P, y la recta PQ gira alrededor de P hacia su posición límite, la recta
tangente PT a la curva en P. Así, dy/dx da la pendiente de la recta tangente en P a la curva y = f (x).
y
y f(x)
Q(x x, y y)
P(x,y)
y
S
x
R
T
O
x
Fig. 9.1
Por ejemplo, el problema 3 señala que la pendiente de la cúbica y = x 3 – x 2 – 4 es m = 40 en el punto x = 4;
esto es, m = 0 en el punto x = 0; y m = 5 en el punto x = –1.
10. Halle ds/dt para la función del problema 2 e interprete el resultado.
Δs = 32t
+ 16Δt
Δt
0
.. Por tanto, ds = lím ( 32t + 16Δt)
= 32t
dt Δt→0
0 0
Cuando t 0, s/t da la velocidad promedio del cuerpo para intervalos de tiempo t cada vez más
cortos. Entonces puede ds/dt considerarse como la velocidad instantánea v del cuerpo en el tiempo t 0 .
Por ejemplo, en t = 3, v = 32(3) = 96 pies/segundo. En general, si un objeto se mueve en línea recta y su
posición sobre la recta tiene la coordenada s en el tiempo t, entonces su velocidad instantánea en el tiempo t es
ds/dt (consulte el capítulo 19).
11. Halle f '(x) cuando f (x) = x.
La función es continua para todos los valores de x. Para x < 0, f (x) = –x y
x x x
f( x) lím ( ) ( ) lím
x
lím
x0 x
x0
x
1 1
x0