Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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La recta perpendicular a y = 2x – 3 en (3, 3) debe pasar por el centro del círculo. Por el teorema 3.2,
la pendiente de es − 1 1
2. Por consiguiente, la ecuación punto–intersección de tiene la forma y =− 2 x+
b.
1
Como (3, 3) está en , tenemos que 3=− 2 () 3 + b; por ende, b = 9 2
y la ecuación de es y =− 1
x + 9
2 2 .
La mediatriz de la cuerda PQ de la figura 4.3 también pasa por el centro del círculo, de manera que la
intersección de y será el centro del círculo. La pendiente de PQ es 1. Entonces, por el teorema 3.2 la
pendiente de es –1. Luego, tiene la ecuación punto–intersección y = –x + b. Como el punto medio (2, 2)
de la cuerda PQ es un punto en , se tiene que 2 = –(2) + b; por ende, b = 4 y la ecuación de es y = –x + 4.
Debes hallar la solución común de y = –x + 4 y y =− 1 x +
9 . Si se establece la igualdad
2 2
− x + 4 =−
1
x +
9
2 2
resulta x = –1. Por tanto, y = –x + 4 = 5, y el centro C del círculo es (–1, 5). El radio es la distancia
2 2
PC = ( −1− 3) + ( 5− 3)
= 16+ 4 = 20. La ecuación estándar del círculo es, entonces, (x + 1) 2 + (y – 5) 2 = 20.
CAPÍTULO 4 Círculos
5. Halle la ecuación estándar de todo círculo que pase por los puntos P(1, –1) y Q(3, 1) y sea tangente a la recta
y = –3x.
Sea C(c, d) el centro de uno de los círculos, y sea A el punto de tangencia (fig. 4.4). Entonces, puesto que
CP = CQ, se tiene que
Desarrollado y simplificado se obtiene
CP 2 = CQ 2 o (c – 1) 2 + (d + 1) 2 = (c – 3) 2 + (d – 1) 2
y –3x
y
c + d = 2 (1)
Q(3, 1)
x
P(1, –1)
C(c, d)
A
Fig. 4.4
Además, CP = CA y por la fórmula del problema 8 en el capítulo 3, CA = 3c+
d
. Si establecemos
10
la igualdad CP 2 = CA 2 resulta (c – 1) 2 + (d +1) 2
2
( 3c+
d)
=
10 . Al sustituir (1) en el miembro derecho y al
multiplicarlo por 10 se obtiene
10[(c – 1) 2 + (d + 1) 2 ] = (2c + 2) 2 , de donde 3c 2 + 5d 2 – 14c + 10d + 8 = 0
Por (1) se puede remplazar d por 2 – c para obtener
2c 2 – 11c + 12 = 0 o (2c – 3)(c – 4) = 0
Por tanto, c = 3 2 o c = 4. Entonces (1) da dos soluciones: c = 3 2, d = 1 2 y c = 4, d = –2. Como el radio CA = c
estas soluciones producen radios de 10 2
10
ecuaciones estándar son
10
=
2
y 10 10
= 10. Por ende, hay dos círculos de ese tipo y sus
3 + d , 10