Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 31 Técnicas de integración I: integración por partes
En la primera fila se colocan u y dv; en la segunda, los resultados de calcular du y v. El resultado deseado
de la fórmula de integración por partes uv v du puede obtenerse si se multiplica primero la esquina superior
izquierda u por la esquina inferior derecha v, y luego se resta la integral del producto v du de las dos entradas
v y du en la segunda fila.
x
EJEMPLO 31.2. Halle xe dx.
Sea u = x y dv = e x . Ahora se esquematiza en un rectángulo como éste
u= x
x
dv=
e dx
du = dx
x
v = e
x x x x x
Luego, xe dx uv v du xe e dx xe e C
x
e ( x 1)
C
EJEMPLO 31.3. Halle e x
cos xdx.
Sea u = e x y dv = cos x dx. Con ello se elabora el rectángulo
x
u= e dv=
cos xdx
x
du = e dx v = sen x
Entonces, ex cos x dx uv v du ex sen x ex senx dx (1)
Ahora se tiene el problema de hallar e x
sen xdx, que parece ser tan difícil como la integral original e x
cos xdx.
Sin embargo, se intenta hallar e x
sen xdx mediante otra integración por partes. Esta vez, sea u = e x y dv = sen x dx.
x
u= e dv=
sen x dx
x
du = e dx v =−cos
x
x x x
e sen x dx e cos x e cos x dx
Así,
Al sustituir lo anterior en la fórmula (1) resulta:
∫
x
x
e cos x e cos x dx
( )
x x x x
e cos xdx= e senx−
− e cos x+
e cos xdx
x
x
x
= e sen x+
e cos x e cos xdx
+ −∫
Sumado
ex cos x dx en ambos lados se obtiene 2 e x cos xdx=
e x sen x e x cos x. Entonces,
∫
∫
e x cos xdx= ( e x sen x+
e x cos x)
1
2
Se debe sumar una constante arbitraria:
∫ e x cos xdx= 1 ( e x sen x+
e x cos x)
+ C
2
Observe que para resolver este ejemplo se necesitó de la aplicación iterada de la integración por partes.
∫