Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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4. Sea una recta y F un punto que no está en . Demuestre que el conjunto de todos los puntos equidistantes
de F y es una parábola.
Se construye un sistema de coordenadas tal que F quede en el eje y positivo y el eje x sea paralelo a y a
medio camino entre F y (fig. 5.9). Sea 2p la distancia entre F y . Entonces, tiene la ecuación y = –p y
las coordenadas de F son (0, p).
2 2
Considere un punto arbitrario P(x, y). Su distancia a es |y + p| y su distancia a F es x + ( y−
p) . Así,
2 2
para que el punto sea equidistante de F y es necesario que | y+ p|
= x + ( y−
p) . Al elevar al cuadrado da
(y + p) 2 = x 2 + (y – p) 2 , de donde se obtiene que 4py = x 2 . Ésta es una ecuación de una parábola con el eje y
como su eje de simetría. El punto F se denomina foco de la parábola, y la recta se llama directriz. La cuerda
AB que pasa por el foco y es paralela a se conoce como lado recto (latus rectum). La “nariz” de la parábola
en (0, 0) es su vértice.
y
CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas
P(x, y)
A
F
B
Fig. 5.9
5. Halle la longitud del lado recto de la parábola 4py = x 2 .
La coordenada y de los puntos extremos (terminales) A y B del lado recto (fig. 5.9) es p. Entonces, en estos
puntos, 4p 2 = x 2 y, por tanto, x = 2p. Así, la longitud AB del lado recto es 4p.
6. Halle el foco, la directriz y la longitud del lado recto de la parábola y = 1 2
x 2 ; también trace su gráfica.
La ecuación de la parábola puede escribirse como 2y = x 2 . Por ende, 4p = 2 y p = 1 2. Por consiguiente,
el foco queda en (0, 1 2), la ecuación de la directriz es y = – 1 2
y la longitud del lado recto es 2. La gráfica se
muestra en la figura 5.10.
y
4
3
2
1
F
A
B
–3 –2 –1 1 2 3
x
Fig. 5.10
7. Sean F y F' dos puntos distintos a una distancia 2c uno del otro. Demuestre que el conjunto de todos los
puntos P(x, y) tales que PF + PF ′ = 2 a, con a > c, forman una elipse.