Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 47 Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
Entonces, para |x| < 1,
sen
1
x
( )
1
135 2n
1 2n1
x
dt x
x
2
0 1 t
246( 2n)
2 n 1
n1
10. Halle la serie de Maclaurin para las funciones siguientes: a) sen (x 3 ); b) sen 2 x.
Recuerde que si una función tiene una extensión de la serie de potencias en un intervalo en torno a 0,
entonces esa serie es la serie de Maclaurin de la función.
+∞ k
( − ) k+
a) senx
= ∑ 1
+∞ k
2 1
3 ( −1)
6k+
3
x para todo x. Por tanto, sen( x ) =
x
( 2k
+ 1)!
∑ y esta es la serie de Maclaurin
( 2k
+ 1)!
k=
0
k=
0
para sen(x 3 ).
2
2 1 cos( 2 ) ( ) 2
b) sen
1
2 2 1 k k
x
1 2 k
x = − +∞
+∞
⎛ − ⎞
= −∑
x
⎝
⎜ ( 2k)!
⎠
⎟ = −
∑ ( ) k + 1 2k
1 2
− 1
2k
x por el problema 1. Entonces, la serie de
( 2k)!
k=
0
k 1 2k
1
( )
Maclaurin para sen 2 x es 1 2
( 2k)!
k1
2k
x ..
11. Determine los primeros cuatro términos no cero (no nulos) de la serie de Maclaurin para f(x) = sec x.
Sería muy tedioso calcular las derivadas sucesivas. Mejor, como sec x cos x = 1, se puede proceder de
forma diferente. Supóngase que x =
+∞
∑
n=
0
ax n
⎛
⎝
⎜
n
k=
1
. Entonces,
+∞
∑
n=
0
ax
n
n
⎞ ⎛
⎠
⎟
⎝
⎜
+∞
∑
k=
0
k
( −1)
x
( 2k)!
2k
⎞
⎠
⎟ = 1
( ) = 1
2 4 6
2 3
(a a x a x a x )
x x x
0
+
1
+
2
+
3
+⋅⋅⋅ 1 − + − +⋅⋅⋅
2 24 720
Ahora se “multiplica”, se comparan coeficientes en ambos miembros de la ecuación y se despeja a n
Entonces,
1 5
a = 1, a = 0, a = 2 ; a 3
= 0; a 4
= ; a = 0;
a =
0 1 2
24 5 6 720
61
sec x = 1 +
1 2
x +
5 4
x +
61 6
x +⋅⋅⋅
2 24 720
2 4 6
Otro método consiste en efectuar una “división larga” de 1 entre 1
x
x
x
2 24 720
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
12. Encuentre la serie de Maclaurin para las funciones siguientes:
a) sen (x 5 ); b)
1
5
1+ x ; c) cos2 x.
( )
Respuestas: a) 1 k
+∞
10k
5
n 5n
−1 2
x ; b) ( )
( 2k
1)!
1 x ; c) 1 + ∑ ( ) k
( 2k)!
k0
k0
13. Halle la serie de Taylor para ln x en torno a 2.
+∞
∑
Respuesta: ln 2+ ( −1)
n=
1
n −1
( x − 2)
n
n2
n
14. Determine los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Maclaurin para a) sen x
e x ; b) e x cos x.
Respuestas: a) x x 2 1 x
3 ; b) 1 + x − 1 x
3 +⋅⋅⋅
3 3
k=
1
2k−1
x
2k