Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 2 Sistemas de coordenadas rectangulares
3. ¿El triángulo con vértices A(–5, 6), B(2, 3) y C(5, 10) es un triángulo rectángulo?
2
AB = (−5−2) (6−3) 2 2 2
+ = ( − 7) + ( 3)
= 49 + 9 = 58
2 2
AC = ( −5−5) + ( 6− 10)
= (−10) 2 + (−4) 2 = 100 + 16 = 116
= (2−5) 2 + (3−10) 2
2 2
BC = (−3) + ( − 7)
= 9 + 49 =
58
2 2 2
Como AC = AB + BC , el inverso del teorema de Pitágoras dice que ABC es un triángulo rectángulo, con
un ángulo recto en B; de hecho, como AB= BC, ABC es un triángulo rectángulo isósceles.
4. Pruebe analíticamente que si las medianas de dos lados de un triángulo son iguales, entonces esos lados son
iguales. (La mediana de un triángulo es un segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto.)
En ABC, sean M 1 y M 2 los puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente. Construya un sistema
de coordenadas de manera que A sea el origen, B se sitúe en el eje x positivo y C quede por encima del eje
x (fig. 2.8). Supón que AM2= BM1. Debe probar que AC= BC. Sea b la coordenada x de B, y sean (u, v) las
coordenadas de C. Entonces, por las fórmulas del punto medio, M 1 tiene coordenadas ( u ,
2 v
2) y M 2 tiene las
coordenadas ( u+
b ,
2 v 2 ) .
Por tanto,
2 2
u+
b
AM2
= + v
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
u
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
y BM b
⎠
1
v
2 2
y
C(u, v)
M 1 M 2
A
B
x
Fig. 2.8
Como AM
= BM ,
2 1
2 2 2 2
2 2
⎛u+
b⎞
⎛ v⎞
⎛ u ⎞ ⎛ v ⎞ ⎛ u−
2b⎞
⎛ v ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ − b⎟
+ ⎜ ⎟⎠ = ⎜ ⎟ + ⎜⎝ ⎟⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ 2
2 2 2 2
2
Por consiguiente, ( u+ b) + v
= ( u − b)
+
v
4 4 4 4
y, en consecuencia, (u + b) 2 = (u – 2b) 2 . Así, u + b = (u – 2b). Si
u + b = u – 2b, entonces b = –2b y, por tanto, b = 0, lo que es imposible porque A ≠ B. Por tanto, u + b = – (u
– 2b) = –u + 2b, de donde 2u = b. Ahora BC = ( u − b) 2 + v 2 = ( u − 2u ) 2 + v 2 = ( − u)
2 + v 2 = u
2 + v 2 y
2 2
AC= u + v . Por tanto, AC = BC.
5. Halle las coordenadas (x, y) del punto Q sobre el segmento de recta que une P 1 (1, 2) y P 2 (6, 7), tal que Q
2
divida el segmento en la razón 2:3, es decir, tal que PQ
1
/ QP2= 3
.
Sean las proyecciones de P 1 , Q y P 2 sobre el eje x A 1 , Q’ y A 2 , respectivamente, con coordenadas 1, x y 6,
2
correspondientemente (fig. 2.9). Ahora A Q/ QA
PQ/ QP . (Cuando dos rectas son cortadas por tres
1 2 1 2
3