Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Criterio de la primera derivada
Supóngase que f (x 0 ) = 0.
Caso {+, –}
Si f es positiva en un intervalo abierto inmediatamente a la izquierda de x 0 , y negativa en un intervalo abierto
justo a la derecha de x 0 , entonces f tiene un máximo relativo en x 0 [fig. 14.1(a)].
Caso {–, +}
Si f es negativa en un intervalo abierto justo a la izquierda de x 0 , y positiva en un intervalo abierto justo a la
derecha de x 0 , entonces f tiene un mínimo relativo en x 0 [fig. 14.1(b)].
Casos {+, +} y {–, –}
Si f tiene el mismo signo en intervalos abiertos justo a la izquierda y justo a la derecha de x 0 , entonces f no
tiene un máximo ni un mínimo relativo en x 0 [fig. 14.1(c-d)].
Para ver una demostración del criterio de la primera derivada, repase el problema 8.
CAPÍTULO 14 Valores máximos y mínimos
x 0
x 0
(a)
(b)
x 0 x 0
(c)
Fig. 14.1
(d)
EJEMPLO 14.3. Considere tres funciones f (x) = x 4 , g(x) = –x 4 y h(x) = x 3 , ya analizadas. En su número crítico 0,
el criterio de la segunda derivada no resulta aplicable porque la segunda derivada es 0. Entonces, se intenta el criterio
de la primera derivada.
a) f (x) = 4x 3 . A la izquierda de 0, x < 0, y así, f (x) < 0. A la derecha de 0, x > 0, por lo que f (x) > 0. Luego, se
presenta el caso {–, +} y f debe tener un mínimo relativo en 0.
b) g(x) = –4x 3 . A la izquierda de 0, x < 0, implica que g(x) > 0. A la derecha de 0, x > 0, y entonces g(x) < 0.
Luego, aparece el caso {+, –} y g debe tener un máximo relativo en 0.
c) h(x) = 3x 2 . h(x) > 0, a ambos lados de 0. Entonces, se tiene el caso {+, +} y h no presenta un máximo ni un
mínimo relativo en 0. Existe un punto de inflexión en x = 0.
Puede comprobar estos resultados en las gráficas de las funciones.