Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Se tiene que
En (1, 2) en la dirección 3
dT
ds
, dT
ds
64( 2x)
64 2y
=−
2 2 2
−
2 2 2
( x + y + 2) cos ( )
θ
senθ
( x + y + 2)
128 1 256 3
64
49 2 49 2 49 ( 1 2 3) .
2 2
5. El potencial eléctrico V en un punto (x, y) está dado por V = ln x + y . Determine la razón de cambio de V
en el punto (3, 4) según la dirección del punto (2, 6).
Aquí,
dV
ds
=
x
cosθ
+
x + y x
2 2 2 2
y
senθ
+ y
Como es un ángulo del segundo cuadrante y tan (6 4)/(2 3)2, cos 5 y sen 5.
Por tanto, (3, 4) en la dirección indicada dV
ds =
3 ⎛ 25 ⎝
⎜ −
1 ⎞
⎠
⎟ + 4 2
5 25 5
=
6. Encuentre la derivada direccional máxima para la superficie y el punto del problema 2.
En P(7, 2) en la dirección , dz/ds = 14 cos – 24 sen .
Para hallar el valor de para el cual dz es un máximo, sea
d dz
ds d
ds 14 sen 24 cos 0.. Entonces,
tan 14 24 12 7
y es un ángulo del segundo o del cuarto cuadrante. Para el ángulo del segundo cuadrante
sen 193 y cos = −7/ 193. Para el ángulo del cuarto cuadrante, sen 193 y cos 193.
Como d 2
dz d
2
d
ds (14 sen 24 cos )14 cos 24 sen es negativo para el ángulo del cuarto
d
cuadrante, la derivada direccional máxima es dz
dz = 14 ⎛ 7 ⎞
⎜
⎝ ⎠
⎟ − ⎛ ⎝
⎜ − ⎞
24
12
193 193 ⎠
⎟ = 2 193, y la dirección es
= 300º 15.
5
25 .
CAPÍTULO 52 Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos
7. Encuentre la derivada direccional máxima para la función y el punto del problema 3.
En P(0, 3) en la dirección , dz/ds = 3 cos + sen .
Para hallar el valor de para el cual dz
ds es un máximo, sea d dz
d
ds 3 sen cos 0. Entonces,
tan 1 3 y es un ángulo del primer o del tercer cuadrante.
2
Como
d dz d
2
d
ds (3 sen cos )3 cos sen es negativo para el ángulo del primer
d
cuadrante, la derivada direccional máxima es dz
ds = 3 3 + 1
10 10
= 10, y la dirección es = 18º 26.
8. En el problema 5, demuestre que V cambia más rápidamente a lo largo del conjunto de rectas radiales que
pasan por el origen.
En cualquier punto (x 1 , y 1 ) en la dirección , dV x1
y1
2 2
cos
2 2
sen. Ahora V cambia más
ds x1
y1
x1
y1
rápidamente cuando
d dV x
y
sen cos
d
ds 1
1
2 2
2 2
0 y, entonces, tan y x 2
y 2
1
/(
1
1
) y1
2 2
.Así,
x1
y1
x1
y1
x x y x
1
/(
1
1
)
1
es el ángulo de inclinación de la recta que une el origen y el punto (x 1 , y 1 ).
9. Halle la derivada direccional de F(x, y, z) = xy + 2xz – y 2 + z 2 en el punto (1, –2, 1) a lo largo de la curva x = t,
y = t – 3, z = t 2 en la dirección de z creciente.
Un conjunto de números direccionales da la tangente a la curva en (1, –2, 1) es [1, 1, 2]; los cosenos
6 , . La derivada direccional es
directores son [1/ 1/ 6 , 2/ 6 ]
F
cos
x
F
cos
F
y
cos
z
0 1 6 5 1 4 2 6 6
13 6
6