Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 50 Vectores en el espacio
13. Para los vectores a, b y c del problema 11, demuestre que a (b c) = (a c)b – (a b)c.
Aquí
a × (b × c) = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) ×
i j k
b1 b2 b3
c c c
1 2 3
= ( a 1 i + a 2 j + a 3 k) × [(b 2 c 3 − b 3 c 2 )i + (b 3 c 1 − b 1 c 3 )j + (b 1 c 2 − b 2 c 1 )k]
=
i j k
a1 a2 a3
bc −bc bc −bc bc −bc
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
= i(a 2 b 1 c 2 − a 2 b 2 c 1 − a 3 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 3 ) + j(a 3 b 2 c 3 − a 3 b 3 c 2 − a 1 b 1 c 2 + a 1 b 2 c 1 )
+ k(a 1 b 3 c 1 − a 1 b 1 c 3 − a 2 b 3 c 2 )
= ib 1 (a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 ) + jb 2 (a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 ) + kb 3 (a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 )
− [ic 1 (a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ) jc 2 (a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ) kc 3 (a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 )]
= ( b 1 i b 2 j b 3 k)(a c) (c 1 i c 2 j c 3 k)(a b)
= b(a c) c(a b)(a c)b (a b)c
14. Si l 1 y l 2 son dos rectas en el espacio que no se intersecan, pruebe que la distancia d más corta entre ellas es
la distancia desde cualquier punto en l 1 al plano l 2 y es paralelo a l 1 ; es decir, demuestre que si P 1 es un punto
en l 1 y P 2 es un punto en l 2 , entonces, aparte el signo, d es la proyección escalar de P 1 P 2 en una perpendicular
común a l 1 y l 2 .
Sea l 1 que pasa por P 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) en la dirección a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, y sea l 2 que pasa por P 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) en la
dirección b = b 1 i + b 2 j + b 3 k.
Entonces, P 1 P 2 = (x 2 – x 1 )i + (y 2 – y 1 )j + (z 2 – z 1 )k y el vector a b es perpendicular tanto a l 1 como a l 2 .
Así,
d =
PP
1 2⋅ ( a×
b)
( r2 −r) ⋅ ( a×
b)
= | a×
b | | a×
b |
15. Escriba la ecuación de la recta que pasa por P 0 (1, 2, 3) y es paralela a a = 2i – j – 4k. ¿Cuáles de los puntos
A(3, 1, −1), B(
1 9
, 4 ), C(2, 0, 1) se hallan sobre esa recta?
2 , 4 ,
De (50.19), la ecuación vectorial es
o
(xi + yj + zk) – (i + 2j + 3k) = k(2i – j – 4k)
(x – 1)i + (y – 2)j + (z – 3)k = k(2i – j – 4k) (1)
Las ecuaciones rectangulares (o cartesianas) son
x − 1 y − 2 = =
z − 3
2 −1
−4
(2)
Al usar (2) es fácil comprobar que A y B están en la recta, en tanto que C no lo está.
En la ecuación vectorial (1), un punto P(x, y, z) en la recta se halla dando a k un valor y comparando las
componentes. El punto A está en la recta porque
(3 – 1)i + (1 – 2)j + (–1 – 3)k = k(2i – j –4k)