Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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dx
donde a = 2 dy
x 2
y a
dt
= 2 y 2
. La magnitud de a se obtiene con
dt
| a|
= a⋅ a = a + a
2 2
x y
La dirección de a está dada por tan = a y /a x , y el cuadrante es determinado por a x = a cos y a y = a sen
(fig. 40.2).
y
CAPÍTULO 40 Movimiento curvilíneo
a y j
a
v
a x i
P
r
x
Fig. 40.2
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Por la ecuación (39.7),
dr
dr
ds ds
v = = =t
dt ds dt dt
(40.4)
Entonces,
2
2
dv
ds dt
ds ds dt
⎛ ds
a = = t + = t +
⎞
2
2
dt dt dt dt dt ds ⎝ dt ⎠
2
2
ds ⎛ ds
= t + n
⎞
2
| K| (40.5)
dt ⎝ dt ⎠
por (39.8).
La ecuación (40.5) descompone el vector aceleración en P a lo largo de los vectores tangente y normal. Las
componentes se llaman a 1 y a n , respectivamente, y para sus magnitudes se tiene que
2
| a |
t
=
2 2
2
ds
2
dt
y | | | |
a = 1 ⎛ ds ⎞ v
n
=
R ⎝ dt ⎠ R
donde R es el radio de curvatura de la curva P (fig. 40.3).
En virtud de que | a|
2 = a 2 + a 2 = a 2 + a
2
x y t n, se obtiene
como segunda forma de determinar a n .
a
= | a|
− a
2 2 2
n
t