Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 59 Ecuaciones diferenciales
1
Cuando t = 0, s = 1 y s' = 0. Por tanto, C1
=− 4 g
1
y s 2 g
2 1
s 1 . Cuando s = 4, s 2 15 g pies/
segundo.
b) Como
ds 1
= gdt
2 2 , la integración da ln s s gt C
s − 1
2 − = 1
1 + 2 2
. Cuando t = 0, s = 1. Entonces, C 2
= 0 y ln( s+ 2 1
s − 1 ) = 2 gt .
Cuando s = 4, t =
2
ln( 4+
g
15) segundos.
37. Un bote con masa de 1600 libras tiene una rapidez de 20 pies/s cuando su motor se detiene súbitamente (en
t = 0). La resistencia del agua, proporcional a la rapidez del bote, es de 200 libras cuando t = 0. ¿Qué distancia
habrá recorrido el bote cuando su rapidez se reduzca a 5 pies/s?
Sea s la distancia recorrida por el bote t segundos después de haberse detenido el motor. Luego, la fuerza F
en el bote es
F = ms'' = – Ks' de donde s'' = –ks'
Para determinar k, se observa que en t = 0, s' = 20 y s
fuerza 200g
1
4 . Entonces, k s
/ s
masa 1600
5 .
Ahora s
dv
v
1
, una integración da lnv =− +
dt 5 5 t C 1
o v = C 1 e –t/5 .
Cuando t = 0, v = 20. Entonces, C 1 = 20 y v
ds −
= = 20e dt
t / 5. Otra integración da s = –100e –t/5 + C 2 .
Cuando t = 0, s = 0; entonces, C 2 = 100 y s = 100(1 – e –t/5 ). Se necesita el valor de s cuando v = 5 = 20e –t/5 ,
es decir, cuando e − t /5 1
= 4 . Así, s = 100( 1−
1 4 ) = 75 pies.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
38. Escriba la ecuación diferencial cuya solución es:
a) y = Cx 2 + 1 b) y = C 2 x + C
c) y = Cx 2 + C 2 d) xy = x 3 – C
e) y = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 f) y = C 1 e x + C 2 e 2x
g) y = C 1 sen x + C 2 cos x h) y = C 1 e x cos(3x + C 2 )
Respuestas: a) xy' = 2(y – 1); b) y' = (y – xy') 2 ; c) 4x 2 y = 2x 3 y' + (y') 2 ; d) xy' + y = 3x 2 ; e) y''' = 0; f) y'' – 3y' +
2y = 0; g) y'' + y = 0; h) y'' – 2y' + 10y = 0
39. Resuelva
a) y dy – 4x dx = 0 Respuesta: y 2 = 4x 2 + C
b) y 2 dy – 3x 5 dx = 0 Respuesta: 2y 3 = 3x 6 + C
c) x 3 y' = y 2 (x – 4) Respuesta: x 2 – xy + 2y = Cx 2 y
d) (x –2y)dy + (y + 4x)dx = 0 Respuesta: xy – y 2 + 2x 2 = C
e) (2y 2 + 1)y' = 3x 2 y Respuesta: y 2 + ln |y| = x 3 + C
f) xy'(2y – 1) = y(1 – x) Respuesta: ln |xy| = x + 2y + C
g) (x 2 + y 2 )dx = 2xy dy Respuesta: x 2 – y 2 = Cx
h) (x + y)dy = (x – y)dx Respuesta: x 2 – 2xy – y 2 = C
i) x (x + y)dy – y 2 dx = 0 Respuesta: y = Ce –y/x
j) x dy – y dx + xe –y/x dx = 0 Respuesta: e y/x + ln |Cx| = 0
k) dy = (3y + e 2x )dx Respuesta: y = (Ce x – 1)e 2x
l) x 2 y 2 dy = (1 – xy 3 )dx Respuesta: 2x 3 y 3 = 3x 2 + C