Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

13
Teorema del valor medio. Funciones
crecientes y decrecientes
Máximo y mínimo relativos
Una función f tiene un máximo relativo en x 0 si f (x 0 ) f (x) para toda x en algún intervalo abierto que contenga
a x 0 (y para el que f (x) esté definida). En otras palabras, el valor de f en x 0 es mayor o igual a todos los valores
de f en los puntos próximos. De la misma forma, f tiene un mínimo relativo en x 0 si f (x) f (x) para toda x en un
intervalo abierto que contenga x 0 (y para el que esté definida f (x)). En otras palabras, el valor de f en x 0 es menor
o igual que todos los valores de f en los puntos próximos. Por extremo relativo de f se entiende un máximo
relativo o un mínimo relativo de f.
Teorema 13.1. Si f tiene un extremo relativo en un punto x 0 en el que f (x 0 ) está definida, entonces f (x 0 ) = 0.
De esta manera, si f es diferenciable en un punto en el que tiene un extremo relativo, entonces la gráfica de f tiene
una tangente horizontal en ese punto. En la figura 13.1 hay tangentes horizontales en los puntos A y B, donde f
logra un valor máximo relativo y un valor mínimo relativo, respectivamente. Repase el problema 5 para obtener una
demostración del teorema 13.1.
y
A
B
x
Fig. 13.1
Teorema 13.2. Teorema de Rolle. Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo
abierto (a, b). Se presupone que f (a) = f (b) = 0. Entonces f (x) = 0 para al menos un punto x 0 en (a, b).
Lo anterior significa que si la gráfica de una función continua corta el eje x en x = a y x = b, y la función
es diferenciable entre a y b, entonces existe al menos un punto en la gráfica entre a y b donde la tangente es
horizontal. En la figura 13.2 se muestra ese punto. En el problema 6 se demuestra el teorema de Rolle.
97