Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Diferenciabilidad
Una función es diferenciable en un punto x 0 si la derivada de la función existe en ese punto. El problema 2 del
capítulo 8 demuestra que la diferenciabilidad implica continuidad y que lo contrario es falso, como se muestra
en el problema 11.
PROBLEMAS RESUELTOS
CAPÍTULO 9 La derivada
1. Dada y = f (x) = x 2 + 5x – 8, halle y y y/x cuando x cambia a) de x 0 = 1 a x 1 = x 0 + x = 1.2, y b) de x 0 = 1 a
x 1 = 0.8.
a) x = x 1 – x 0 = 1.2 – 1 = 0.2 y y = f (x 0 + x) – f (x 0 ) = f (1.2) – f (1) = –0.56 – (–2) = 1.44. Entonces,
y
x 144 .
02
72 . .
b) x = 0.8 – 1 = –0.2 y y = f (0.8) – f (1) = 3.36 – (–2) = –1.36. Luego, y
x 136 .
68 . .
02
.
Geométricamente, y/x en a) es la pendiente de la recta secante que une los puntos (1, –2) y (1.2, –0.56) de
la parábola y = x 2 + 5x – 8. En b), es la pendiente de la recta secante que une los puntos (0.8, –3.36) y (1, –2)
de la misma parábola.
2. Las leyes de la física indican que si un cuerpo (es decir, un objeto material) cae libremente a una distancia
de s pies en t segundos, entonces s = 16t 2 . Halle s/t cuando t cambia de t 0 a t 0 + t. Utilice el resultado para
encontrar s/t cuando t cambia: a) de 3 a 3.5, b) de 3 a 3.2, y c) de 3 a 3.1.
2 2
s 16( t0
t) 16t0
32t0t
16( t)
t
t
t
a) Aquí, t 0 = 3, t = 0.5 y s/t = 32(3) + 16(0.5) = 104 pies/segundo
b) Aquí, t 0 = 3, t = 0.2 y s/t = 32(3) + 16(0.2) = 99.2 pies/segundo
c) Aquí, t 0 = 3, t = 0.1, y s/t = 97.6 pies/segundo
2
32t0 16
t
Como s es el desplazamiento del cuerpo del tiempo t = t 0 hasta t = t 0 + t,
Δs = Δt
desplazamiento
tiempo
= velocidad promedio del cuerpo en el intervalo de tiempo
3. Halle dy/dx, con y = x 3 – x 2 – 4. Encuentre también el valor de dy/dx cuando a) x = 4, b) x = 0, c) x = –1.
y + y = (x + x) 3 – (x + x) 2 – 4
= x 3 + 3x 2 (x) + 3x(x) 2 + (x) 3 – x 2 – 2x(x) – (x) 2 – 4
y = (3x 2 – 2x)x + (3x – 1)(x) 2 + (x) 3
y
3x 2x( 3x1) x( x)
x
2 2
dy
2 2 2
lím [ 3x 2x( 3x1) x( x) ] 3x 2x
dx x0
a)
dy
2
= 34 ( ) − 24 ( ) = 40 b)
dx x=
4
dy
2
= 30 ( ) − 20 ( ) = 0 c)
dx x=
0
dy
2
= 3( −1) −2( − 1)
= 5
dx x=−
1