Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Rectas
Inclinación de una recta
La inclinación de una recta se mide por un número llamado pendiente de la recta. Sea una recta y P 1 (x 1 , y 1 ) y
P 2 (x 2 , y 2 ) dos puntos de . La pendiente de se define como el número m y 2
= − y 1
x2 − x
. La pendiente es el cociente
1
de un cambio en la coordenada y y el correspondiente cambio en la coordenada x (fig. 3.1).
y
P 2 (x 2 , y 2 )
P 1 (x 1 , y 1 )
x 2 – x 1
y 2 – y 1
x
Fig. 3.1
Para que la definición de pendiente cobre sentido es necesario comprobar que el número m es independiente
de la elección de los puntos P 1 y P 2 . Si se selecciona otro par, digamos P 3 (x 3 , y 3 ) y P 4 (x 4 , y 4 ), debe resultar el
mismo valor de m. En la figura 3.2 (véase pág.19), el triángulo P 3 P 4 T es semejante al triángulo P 1 P 2 Q; por
tanto,
QP TP y
2 4 2
− y1
y4 − y3
= o =
PQ
1
PT x x x x
3 2
−
1 4
−
3
Así, P 1 y P 2 determinan la misma pendiente que P 3 y P 4 .
EJEMPLO 3.1. La pendiente de la recta que une los puntos (1, 2) y (4, 6) de la figura 3.3 (véase pág.19) es 6 4 2 4
1 3
Por tanto, cuando el punto sobre la recta se mueve tres unidades a la derecha, avanza cuatro unidades hacia arriba.
Además, la pendiente no se ve afectada por el orden en el que se dan los puntos: 2 − 6 =
y2 − y1
. En general,
y1 − y
=
2
=
4 4
1−
4
− − 3 3
x − x
2 1
−
−
= .
.
x − x
El signo de la pendiente
El signo de la pendiente tiene significado. Por ejemplo, considere una recta que asciende a medida que va
hacia la derecha, como en la figura 3.4(a). Puesto que y 2 > y 1 y x 2 > x 1 , se tiene que m = y y 2
−
1
x2 − x > 0. La pendiente
1
de es positiva.
Ahora considere una recta que baja a medida que va hacia la derecha, como en la figura 3.4(b). Ahí, y 2 <
y2 y
y 1 , en tanto que x 2 > x 1 , por lo que m = − 1
−
< 0. La pendiente de es negativa.
x
x
2 1
1 2
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