Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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b)
El signo del valor absoluto se eliminó porque x 2 + 1 0. En el futuro, se hará esto sin mencionarlo
explícitamente.
2
x 1
3
dx
x 5 3
2
3x
1
3
3
dx x 5
C
x 5 3
ln | |
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Evalúe a) tan xdx; b) cot xdx; c) sec xdx.
sen x sen
a) tan xdx
cos x dx x
∫ = ∫ =−∫
−
cos x dx
=−ln | cos x | + C
por la fórmula abreviada II.
CAPÍTULO 25 El logaritmo natural
1
=− ln + C =−( −ln|
sec x| ) + C = ln| secx|
+ C
sec x
(25.16) tan xdxln | sec x|
C
cos
b) cot
xdx x
ln sen
sen x dx | x | C
Por la fórmula abreviada II.
∫
(25.17) cot xdx = ln | senx|
+ C
sec x+
tan x
c) ∫ sec xdx=
∫ sec x
sec x+
tan x dx
=
∫
2
sec x + sec xtan
x
dx = ln | sec x + tan x|
+ C
sec x+
tan x
(25.18) sec xdxln | sec xtan
x|
C
Por la fórmula abreviada II.
2. (CG) Calcule el valor de ln 2.
Una graficadora da un valor de ln 2 0.6931471806. Más adelante se hallará otro método para calcular ln 2.
3. (CG) Trace la gráfica de y = ln x.
Una graficadora entrega la gráfica mostrada en la figura 25.3. Nótese que por (25.10), ln x es creciente. Por
(25.13), la gráfica crece sin límite a la derecha, y por (25.14) el eje negativo y es una asíntota vertical. Como
1
2 −1 −2
Dx(ln x) = Dx( x ) =− x =−
2
< 0
x
la gráfica es cóncava hacia abajo. Por (25.13) y (25.14), el teorema del valor intermedio, el rango de ln x es el
conjunto de todos los números reales.
y
3
2
1
0
–1
1 2 3 4 5 6 7
x
–2
Fig. 25.3