Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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vertical cuya base es de área k A y cuya altura es la distancia z k = f (x k , y k ). Esto, a su vez, puede considerarse
una aproximación del volumen de la columna vertical cuya base inferior es la subregión R k y cuya base superior
es la proyección de R k sobre la superficie. Así, (54.1) es una aproximación del volumen “bajo la superficie” (es
decir, el volumen con la base inferior R y base superior en la superficie generada al mover una recta paralela al
eje z a lo largo de la frontera de R). Resulta intuitivamente claro que (54.2) es la medida de este volumen.
La evaluación por suma directa de las integrales dobles más simples generalmente plantea muchas dificultades.
z
Z k
z f(x, y)
CAPÍTULO 54 Integrales dobles e iteradas
O
P k
R k
R
y
x
Fig. 54.2
La integral iterada
Considere un volumen definido como antes y supóngase que la frontera de R es tal que ninguna recta paralela
al eje x o al eje y la corta en más de dos puntos. Trace las rectas tangentes a la frontera x = a y x = b con puntos
de tangencia K y L, y las rectas tangentes y = c y y = d con puntos de tangencia M y N (fig. 54.3). Sea y = g 1 (x)
la ecuación del arco plano LMK y sea y = g 2 (x) la ecuación del arco plano LNK.
Se divide el intervalo a x b en m subintervalos h 1 , h 2 ,…, h m de longitudes respectivas 1 x, 2 x,…, m x
insertando los puntos x 1 , x 2 ,…, x m–1 de manera que a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x m–1 < x m = b. De forma similar, se
dividen el intervalo c y d en n subintervalos k 1 , k 2 ,…, k n de longitudes respectivas 1 y, 2 y,…, n y insertando
los puntos h 1 , h 2 ,…, h n–1 de manera que c = h 0 < h 1 < h 2 < … < h n–1 < h n = d. Sea l m el mayor de los i x y sea
m n el mayor de los j y. Trace las rectas paralelas x = x 1 , x = x 2 ,…, x = x m–1 y las rectas paralelas y = h 1 , y = h 2 ,…
y = h n–1 , así pues, dividiendo la región R en un conjunto de rectángulos R ij de áreas i x j y, más un conjunto de
fragmentos no rectangulares a lo largo de la frontera (cuyas áreas serán lo suficientemente pequeñas como para
ser ignoradas). En cada subintervalo h i , se selecciona un punto x = x 1 y, en cada subintervalo k j se selecciona
un punto y = y j , lo que determina en cada subregión R ij un punto P ij (x i , y j ). Con cada subregión R ij se asocia por
medio de la ecuación de la superficie, un número z ij = f (x i , y j ) y se forma la suma
i12
, ,…,
m
j12
, ,…,
n
f( x , y ) x
y
i j i j
(54.3)
Ahora, (54.3) es simplemente un caso especial de (54.1). Entonces, si el número de rectángulos crece indefinidamente
de tal forma que tanto l m 0 como m n 0, el límite de (54.3) debería ser igual a la integral
doble (54.2).
Al efectuar este límite, primero se selecciona uno de los subintervalos, digamos h i , y se forma la suma
n
j1
f( xi, yj) jy
i
x
(i fijo)
de las contribuciones de todos los rectángulos que tienen h i como una dimensión, es decir, las contribuciones de
todos los rectángulos que quedan en la iésima columna. Cuando n +, m n 0,
n
g2
( xi
)
lim
f( xi, yj) jy
ix
f( xi, y)
dy
x x x
n
g x
i
( i)
i
1( i )
j1