Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 50 Vectores en el espacio
Triple producto escalar
En la figura 50.6, sea el ángulo menor entre b y c y sea el ángulo más pequeño entre a y b c. Denótese
con h la altura y con A el área de la base del paralelepípedo. Entonces, el triple producto escalar es, por definición,
a · (b c) = a · |b||c| sen n = |a||b||c| sen cos = (|a| cos)(|b||c| sen ) = hA
= volumen del paralelepípedo
Puede demostrarse (véase el problema 11) que
a ( bc)= a1 a2 a3
b1 b2 b3
=( ab)
c
c c c
1 2 3
(50.14)
n
a
h
c
b
A
Fig. 50.6
Además
c( ab)=
c c c
a a a
b b b
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
b b b
c c c
1 2 3
1 2 3
1
2 3
= a( bc)
en tanto que
b1 b2 b3
a a a
b( ac) a1 a2 a3
b b b
c c c c c c
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a( bc)
De igual forma se tiene que
a · (b c) = c · (a b) = b · (c a) (50.15)
y
a (b c) = –b (a c) = –c (b a) = –a (c b) (50.16)
De la definición de a · (b c) como un volumen se sigue que si a, b y c son coplanares, entonces a · (b c) =
0 y a la inversa.
Los paréntesis en a · (b c) y (a b) · c no son necesarios. Por ejemplo, a · b c puede interpretarse sólo
como a · (b c) o (a · b) c. Pero a · b es un escalar, así que (a · b) c no tiene sentido (véase el problema 12).