Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetría
10. Trace la gráfica de y 2 (x 2 – 4) = x 4 .
4
2 x
y = 2
x − 4
. Entonces, y 2
x
=± . La curva existe sólo para 2
x − 4 x2 > 4, es decir, para x > 2 o x < –2, más el
punto aislado (0, 0).
La curva es simétrica respecto a ambos ejes coordenados y al origen. Por ello, a partir de este momento se
considera sólo el primer cuadrante. Entonces,
3
y
x 8x
2
2 3 2 y
( x 4) / y
4x
32
2 5 2
( x 4) /
El único número crítico es 2 2 (donde y = 4). Como y > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba y existe un
mínimo relativo en ( 2 2, 4). Las rectas x = 2 y x = –2 son asíntotas verticales. El resto de la gráfica en otros
cuadrantes se obtiene mediante reflexión en los ejes y en el origen. Se advierte que también existe una asíntota
oblicua y = x, ya que y 2 – x 2 = x 4 /(x 2 – 4) – x 2 = 4/(x 2 – 4) 0 cuando x . Por simetría, y = –x asimismo
es una asíntota (fig. 15.11).
y
–2 2
O
y 2 (x 2 – 4) = x 4
Fig. 15.11
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
11. Analice las funciones del problema 23a-f) del capítulo 14.
Respuestas:
a) No hay punto de inflexión; cóncava hacia arriba en todas partes.
b) No hay punto de inflexión; cóncava hacia abajo en todas partes.
c) Punto de inflexión en x =− 2 3; cóncava hacia arriba para x >− 2 3; cóncava hacia abajo para x 2, cóncava hacia abajo para x < 2.
e) Punto de inflexión en x = 2; cóncava hacia abajo para x > 2, cóncava hacia arriba para x < 2.
f) Punto de inflexión en x = 2 3
2 3
; cóncava hacia arriba para x >
3 3 y x < – 2 3 , cóncava hacia abajo para
3
− 2 3
3 < x < 2 3
3 .
12. Demuestre: si f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tiene dos números críticos, su promedio es la abscisa en el punto de
inflexión. Si hay sólo un número crítico, es la abscisa en el punto de inflexión.
13. Analice y trace las gráficas de las ecuaciones siguientes:
a) xy = (x 2 – 9) 2
Respuesta:
simétrica respecto al origen, asíntota vertical x = 0, mínimo relativo en (3, 0), máximo relativo
en (–3, 0), sin puntos de inflexión, cóncava hacia arriba para x > 0.