Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

393
n
( n
Obsérvese el patrón: f )
( x)
n!
f
=
n+
1
. Por tanto, an
= ( ) ( 0 )
1
= 1 para todo n, y la serie de Maclaurin para
( 1− x)
n!
1− x es
+∞
1
∑ x n . En este caso, ya se sabe que
1− x
es igual a su serie de Maclaurin para |x| < 1.
n= 0
+∞
∑
n
Teorema 47.1. Si f ( x) = bn
( x−c)
para algún x ≠ c, entonces esta serie es la serie de Taylor para f, es decir,
n
f c
n=
0
bn
= ( ) +∞
()
n
para todo n. En particular, si f ( x)=
b x
n!
∑ n
para algún x ≠ 0, entonces esta serie es la serie de Maclaurin
n=
0
para f.
+∞
∑
n=
0
n
n
Supóngase que f ( x) = b ( x−c)
para algún x ≠ c. Entonces, f(c) = b 0 . Por derivación término a término (teo-
n
rema 46.7) f ( x) nbn
( xc) 1
n
en el intervalo de convergencia de bn
( x
c)
. Por tanto, f (c) = b 1 . Derivando
n0
n0
n2
f c
de nuevo se obtiene f ( x)
n( n1) bn( xc)
. Entonces, f (c) = 2b 2 y, por consiguiente, b = ′′( ) .
!
n0
2 2
n3
Derivando nuevamente se obtiene f ( x) n( n1)( n2) bn( xc)
. Luego f (c) = 3!b 3 y, por consiguiente,
f c
n0
b = ′′′( ) . Iterando este procedimiento se obtiene
!
3
3
Así, la serie es la serie de Taylor para f.
EJEMPLO 47.3.
b
n
n
f c
= ( ) ()
n!
Ya se sabe por la fórmula (46.8) que
+∞
ln( 1+ x) = ∑( −1)
−1
n
n x
n
n=
1
para todo n ≥ 0
para |x| < 1
CAPÍTULO 47 Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
Por tanto, por el teorema 47.1, la serie ( 1)
1
n
n x
debe ser la serie de Maclaurin para ln (1 + x). No es necesario
n
n1
pasar por el laborioso proceso de calcular la serie de Maclaurin para ln (1 + x) directamente a partir de la definición
de la serie de Maclaurin.
EJEMPLO 47.4.
Si f ( x)= 1
, determine f
1 − x
(47) (0).
Se sabe que
1
1
x
x
n para |x| < 1. Por tanto, por el teorema 47.1, el coeficiente de x n , o sea 1, es igual a
( n
0
f ) 47
( 0 )
0
. Entonces, para n = 47, 1 = f ( ) ( )
y, por consiguiente, f
n!
( 47)!
(47) (0) = (47)!.
Teorema 47.2. Fórmula de Taylor con residuo. Sea f una función tal que su (n + 1)-ésima derivada f ( n+1) existe
en (, ). Supóngase también que c y x existen en (, ). Entonces, existe algún x * entre c y x tal que
f () c
f () x = f() c + f′ ()( c x− c)
+ ′′ 2
( x− c)
+⋅⋅⋅+
2!
() c
( x− c)
+
n!
f ( x )
( )! ( x−
c
n + 1
)
(
f n
)
( n+
1)
*
n
n+
1
n ( k)
f () c
k
= ∑ ( x− c) + R ( x)
k!
n
k=
0
(47.1)
( n+
1) *
f ( x )
Aquí, Rn
( x)
= x c
( n + )! ( −
1
)
n+
1
se denomina el término residuo o el error.
El teorema 47.2 puede deducirse del teorema 13.6 (el teorema del valor medio de orden superior).